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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 37

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ sec ⁡ ( ln ⁡ θ )

Passo 1

Ao derivar temos que tomar muito cuidado para ver se não tem uma função dentro da outra (função composta). Se tiver precisamos usar a regra da cadeia!

Passo 2

Aqui temos que y é a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = sec ⁡ ( ln ⁡ θ ) . Então pela regra da cadeia vamos ter que

y ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos agora calcular tanto f ' quanto g ' . A primeira é uma derivada tabelada e vale

f ' θ = 1 θ

Passo 4

A derivada de g vai pedir a regra da cadeia novamente, pois g é a composição de h θ = sec ⁡ θ com w θ = ln ⁡ θ . Logo temos que

g ' θ = h ' w θ ⋅ w ' ( θ )

Passo 5

Então vamos calcular h ' e w ' . Ambas são funções com derivadas tabeladas e valem:

h ' θ = tg ⁡ θ sec ⁡ θ

w ' θ = 1 θ

Logo,

g ' θ = tg ⁡ θ sec ⁡ θ ⋅ 1 θ = tg ⁡ θ sec ⁡ θ θ

Passo 6

Assim, pela fórmula do passo 2, temos que:

y ' = 1 sec ⁡ ( ln ⁡ θ )   ⋅ tg ⁡ θ sec ⁡ θ θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ θ sec ⁡ ln ⁡ θ

Resposta

y ' = tan ⁡ θ sec ⁡ θ θ sec ⁡ ln ⁡ θ

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