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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 23

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

x = y 4 4 + 1 8 y 2 ,         1 ≤ y ≤ 2 ;         e i x o   x

Sugestão: Expresse d s = d x 2 + d y 2 em termos de d y   , e calcule a integral S = ∫ 2 π y   d s com limites apropriados.

Passo 1

Seguindo primeiramente a sugestão dada, temos que:

d s = d x 2 + d y 2 = 1 + ( y 3 - 1 4 y 2 ) 2   d y = y 6 - 1 2 + 1 16 y 6   + 1   d y =

= y 6 + 1 2 + 1 16 y 6 d y   = y 3 + 1 4 y 3 2 d y = y 3 + 1 4 y 3 d y

Assim, temos que:

S = ∫ 1 2 2 π   y d s = ∫ 1 2 2 π y y 3 + 1 4 y 3 d y =   2 π ∫ 1 2 y 4 + 1 4 y - 2 d y =

Passo 2

Integrando, temos:

2 π ∫ 1 2 y 4 + 1 4 y - 2 d y = 2 π y 5 5 - 1 4 y - 1 2 1

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 3

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S = 2 π y 5 5 - 1 4 y - 1 2 1 = 2 π 2 5 5 - 1 4 × 2 - 1 5 - 1 4 = 2 π 32 5 - 1 8 + 1 20 = 253 π 20

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

253 π 20

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