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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 31

  1. A elipse

    2. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ,     a > b

    É girada em torno do eixo x para formar uma superfície chamada elipsoide ou esferoide prolato. Calcule a área da superfície desse elipsoide .

  2. Se a elipse da parte (a) for girada em torno de seu eixo menor (o eixo y ), o elipsoide resultante é chamado de esferoide oblato. Encontre a área da superfície deste elipsoide.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área do elipsoide, formado pela rotação da elipse em torno do eixo x , e encontrar a área do elipsoide formado pela rotação da elipse em torno do eixo y .

Pra isso, vamos usar a fórmula da área de rotação:

S = ∫ a b 2 π y   d s

Onde [ a ,   b ] é o intervalo considerado, y é a nossa curva e d s é dado por:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Isso pra rotação em torno do eixo x . Pra calcular a área da superfície de rotação em torno do eixo y , basta trocar o x por y na fórmula ( S = ∫ a b 2 π x   d s , onde d s = 1 + d x d y 2 d y ).

Então, vamos isolar a variável desejada, calcular a derivada da expressão obtida e substituir nas fórmulas para obter a área de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando y 2 / b 2 para calcular o d s :

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

Assim, derivando implicitamente em relação a x , temos:

2 y d y d x b 2 = - 2 x a 2

E isolando d y d x :

y d y d x = - x b 2 a 2

d y d x = - b 2 x a 2 y

Passo 3

Agora, calcularemos d s , usando a fórmula que vimos no passo 1 e o resultado da derivada obtida no passo 2 :

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + b 4 x 2 a 4 y 2 d x

= a 4 y 2 + b 4 x 2 a 4 y 2 d x

Substituindo y 2 , ficamos com:

d s = b 4 x 2 + a 4 b 2 1 - x 2 a 2 a 4 b 2 1 - x 2 a 2 d x

Aplicando a distributiva nos produtos:

= a 4 b 2 + b 4 x 2 - a 2 b 2 x 2 a 4 b 2 - a 2 b 2 x 2 d x

Simplificando:

= a 4 + b 2 x 2 - a 2 x 2 a 4 - a 2 x 2 d x

Colocando a em evidência e simplificando novamente:

= a 4 - a 2 - b 2 x 2 a 2 a 2 - x 2 d x

Temos:

= a 4 - a 2 - b 2 x 2 a a 2 - x 2 d x

Passo 4

Agora que já calculamos d s , podemos calcular S , usando a fórmula de área:

S = ∫ a b 2 π y   d s

Temos que a área da superfície do elipsóide é duas vezes a área gerada ao girar a parte do primeiro quadrante da elipse em torno do eixo x . Portanto, podemos usar a simetria para escrever a nossa integral na forma:

S = 2 ∫ 0 a 2 π b a a 2 - x 2   a 4 - a 2 - b 2 x 2 a a 2 - x 2 d x

Colocando as constantes do lado de fora:

= 4 π b a 2 ∫ 0 a a 4 - a 2 - b 2 x 2 d x

Para calcular essa integral, vamos dizer que u = a 2 - b 2 x . Assim, temos que d u = a 2 - b 2 d x . Então, substituindo ficamos com:

= 4 π b a 2 ∫ 0 a a 2 - b 2 a 4 - u 2 d u a 2 - b 2

Usando uma tabela de integrais, para fazer essa integração, temos que:

= 4 π b a 2 a 2 - b 2 u 2 a 4 - u 2 + a 4 2 sin - 1 ⁡ u a 2 0 a a 2 - b 2

Aplicando os limites de integração:

= 4 π b a 2 a 2 - b 2 a a 2 - b 2 2 a 4 - a 2 a 2 - b 2 + a 4 2 sin - 1 ⁡ a 2 - b 2 a

= 2 π b 2 + a 2 b sin - 1 ⁡ a 2 - b 2 a a 2 - b 2

Encontramos a nossa área de rotação em torno do eixo x .

Passo 5

Agora vamos encontrar a área de rotação em torno do eixo y , seguindo o mesmo passo a passo do item anterior. Primeiro, vamos isolar x 2 / a 2 para calcular o d s , então:

x 2 a 2 = 1 - y 2 b 2

Então, derivando implicitamente em relação a y , temos:

2 x d x d y a 2 = - 2 y b 2

E isolando o d x d y :

a d x d y = - a 2 y b 2

d x d y = - a 2 y b 2 x

Agora, calcularemos d s (Note que é análogo a letra (a)):

d s = 1 + d x d y 2 d y = b 4 - b 2 - a 2 y 2 b b 2 - y 2 d y

Passo 6

Agora que já calculamos d s , podemos calcular a nossa área S , usando a fórmula:

S = ∫ a b 2 π x   d s

Temos que a área da superfície do elipsóide é duas vezes a área gerada ao girar a parte do primeiro quadrante da elipse em torno do eixo y . Portanto, vamos usar a simetria para escrever nossa integral na forma:

S = 2 ∫ 0 b 2 π x d s

Substituindo os dados encontrados, temos:

= 4 π   ∫ 0 b a b b 2 - y 2 b 4 - b 2 - a 2 y 2 b b 2 - y 2 d y

Colocando as constantes do lado de fora da integral:

= 4 π a b 2 ∫ 0 b b 4 - b 2 - a 2 y 2   d y

Note que esta integral é a mesma da letra (a), a única diferença é que se pegarmos a integral da letra (a), basta trocamos a por b e x por y , então a resposta é análoga, fazendo a mesma substituição. Olha só:

S = 2 π a 2 + a b 2 sin - 1 ⁡ b 2 - a 2 b b 2 - a 2

E encontramos a nossa área de rotação em torno do eixo y .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. S = 2 π b 2 + a 2 b sin - 1 ⁡ a 2 - b 2 a a 2 - b 2
  2. S = 2 π a 2 + a b 2 sin - 1 ⁡ b 2 - a 2 b b 2 - a 2
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