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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 26

Use um SCA para calcular a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y . Se seu SCA tiver problemas para calcular a integral, expresse a área da superfície como uma integral na outra variável

y = ln ⁡ x + 1 ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Aqui usaremos uma tabela de integral para encontrar uma expressão para o valor da integral, mas usando um SCA o resultado obtido será o mesmo, pra isso, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π x 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = 1 x + 1

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 = 1 + 1 x + 1 2

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + 1 x + 1 2   d x = 2 π ∫ 0 1 x 1 + 1 x + 1 2   d x

Seja u = x + 1 , temos que d u = d x . Então, substituindo

2 π ∫ 0 1 x 1 + 1 x + 1 2   d x = 2 π ∫ 1 2 u - 1 1 + 1 u 2   d u = 2 π ∫ 1 2 u 1 + u 2 u d u - 2 π ∫ 1 2 1 + u 2 u d u = 2 π ∫ 1 2 1 + u 2   d u - 2 π ∫ 1 2 1 + u 2 u d u

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

S = 2 π 1 2 u 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 1 2 - 2 π 1 + u 2 - ln ⁡ 1 + 1 + u 2 u 1 2 = 2 π 5 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5 - 1 2 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 2 - 2 π 5 - ln ⁡ 1 + 5 2 - 2 + ln ⁡ 1 + 2 = 2 π 1 2 ln ⁡ 2 + 5 + ln ⁡ 1 + 5 2 + 2 2 - 3 2 ln ⁡ 1 + 2

Resposta

S = 2 π 1 2 ln ⁡ 2 + 5 + ln ⁡ 1 + 5 2 + 2 2 - 3 2 ln ⁡ 1 + 2

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(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y . 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x. 7 .y = x 3 ,0 ≤ x ≤ 2