Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 30
Um grupo de engenheiros está construindo uma antena parabólica cujo formato será formado pela rotação da curva em torno do eixo . Se a antena tiver de diâmetro e uma profundidade máxima de , encontre o valor de e a área da superfície da antena.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de na expressão e o valor da área da superfície de revolução formada pela rotação dessa curva em torno do eixo .
Isso significa que vamos ter que usar a fórmula da área da superfície de revolução:
Então, o que nós vamos fazer calcular a derivada de , elevar o resultado ao quadrado, somar e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo e integramos para obter nossa área. Em seguida, vamos encontrar o valor de , usando os valores do diâmetro e da profundidade da antena.
Vamos lá!
Passo 2
Então, primeiramente, vamos calcular a derivada da nossa função:
Elevando esse resultado ao quadrado e somando , temos:
Agora considerando que nossa área vai de até o raio e substituindo o resultado obtido na raiz do integrando da nossa fórmula de área, vamos ter:
Passo 3
Pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples, chamando , Dessa forma, temos que . Então, substituindo na integral, ficamos com:
Integrando em relação a :
E aplicando os limtes de integração:
Passo 4
O problema nos dá o diâmetro, então temos que:
E
Então
E
Agora, podemos calcular aárea :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉