Exercícios de Área de Superfícies de Revolução - Lista de Exercícios Resolvida

a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta ,

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , da curva

Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do pedaço de astróide , mostrado a seguir

Dica: Gire o pedaço do primeiro quadrante em torno do eixo e dobre o resultado

Determine as áreas das superfícies geradas pela rotação da curvas em torno dos eixos indicados.

Eis um desenho esquemático da redoma de pés usada pelo Serviço Meteorológico Nacional dos Estados Unidos para abrigar um radar em Bozeman, Montana.

Se a redoma fosse pintada, qual a área da superfície que receberia tinta (sem contar a base)?

Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado

Com

Rotacionando em torno do eixo

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

a) é o conjunto do plano limitado pelas retas pelo eixo e pelo gráfico .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

i) é o conjunto do plano limitado pelas retas e pelo gráfico de

17 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .

18 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

c) , com , eixo .

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

a) , com , eixo .

19 - Determine a área da superfície de cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

b) , com , eixo .

Calcule a área da elipse .

Mostre que a área de um elipsóide de revolução obtido rotacionando a elipse

em torno do eixo é dada por:

Quando giramos o gráfico de uma função de classe , , , em torno do eixo , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. , seção )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

Quando giramos o gráfico de uma função de classe , , , em torno do eixo , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. , seção )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

k) é o conjunto do plano limitado pela reta , pelo gráfico , com .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

c) é o conjunto de todos tais que .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

e) é o conjunto de todos tais que , com .

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

e) , com , eixo

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

d) , com , eixo

A região sob o gráfico de no intervalo é girado em torno do eixo . Encontre o volume do sólido gerado.

Ache a área da região limitada pelos gráficos de , , e .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

d) é o conjunto de todos tais que .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

p) é o conjunto de todos os pontos tais que e .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

n) é o conjunto de todos os pontos tais que .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

g) é o conjunto do plano limitado pela reta e pelo gráfico de , com .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

o) é o conjunto de todos os pontos tais que .

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

f) com , eixo

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

b) é o conjunto do plano limitado pelas retas , , e pelo gráfico .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Determine a integral que representa o volume do elipsóide gerado pela rotação da curva , em torno do eixo .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

f) é a região do plano compreendida entre o eixo e o gráfico de , com .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

m) é o conjunto do plano limitado pelas retas , e pelos gráficos de e .

Dadas as superfícies e de equações e , respectivamente, obtenha uma parametrização da curva formada pela interseção de com e que está localizada acima do plano .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

em torno do eixo .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

l) e

20 - Determine a área da superfície de cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

j) é o conjunto de todos tais que e .

Desenhe o conjunto abaixo e calcule a área:

h) é o conjunto do plano limitado pelas retas , e pelo gráfico de .