Seja L o comprimento da curva y = f(x), a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem uma derivada contínua. Seja Sf a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x . Se c é uma constante positiva, defina g(x) = f(x) + c e seja Sg a área da superfície correspondente gerada pela curva y = g(x), a ≤ x ≤ b . Expresse Sg em termos de S_f e L .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos disse que S g é a área da superfície gerada pela curva y = g ( x ) , no intervalo [ a ,   b ] , e pediu pra gente expressar S g em termos de S f e L .

Pra isso, eles nos disse também que L é o comprimento da curva y = f ( x ) , no intervalo [ a ,   b ] , e que sendo c uma constante positiva, podemos ter g x = f x + c .

Considerando que g é positiva e tem derivada contínua, podemos escrever a área da superfície gerada por ela na forma:

S g = ∫ a b 2 π g x 1 + g ' x 2 d x

A partir daí, vamos usar as relações que o enunciado nos deu para escrever S g em função da superfície gerada por f , que é S f e em função de L , que é o comprimento da curva.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a fórmula do passo 1 e lembrando que o enunciado nos disse que g x = f x + c , vamos ter g ' x = f ' x . Então, nossa equação fica assim:

S g = ∫ a b 2 π f x + c 1 + f ' x 2 d x

Repare que substituímos g ( x ) por f x + c e g ' ( x ) por f ' ( x ) , beleza? Agora aplicando a propriedade distributiva nesse produto, podemos separar o nosso integrando em duas integrais na forma:

S g = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x + ∫ a b 2 π c 1 + f ' x 2 d x

Agora observe que a integral da esquerda representa a superfície gerada pela rotação da função f ( x ) em torno do eixo x no intervalo [ a ,   b ] . Chamando essa integral de superfície de S f , vamos ter:

S g = S f + 2 π c ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Mas, lembra da fórmula do comprimento de arco? Ela é dada por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E é isso que nós temos ali na equação. Então, podemos substituir toda aquela integral por L e escrever:

S g = S f + 2 π c L

E escrevemos S g em função de S f e L .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S g = S f + 2 π c L

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