Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 36
Seja o comprimento da curva , onde é positiva e tem uma derivada contínua. Seja a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo . Se é uma constante positiva, defina e seja a área da superfície correspondente gerada pela curva . Expresse em termos de e .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos disse que é a área da superfície gerada pela curva , no intervalo , e pediu pra gente expressar em termos de e .
Pra isso, eles nos disse também que é o comprimento da curva , no intervalo , e que sendo uma constante positiva, podemos ter .
Considerando que é positiva e tem derivada contínua, podemos escrever a área da superfície gerada por ela na forma:
A partir daí, vamos usar as relações que o enunciado nos deu para escrever em função da superfície gerada por , que é e em função de , que é o comprimento da curva.
Vamos lá!
Passo 2
Usando a fórmula do passo e lembrando que o enunciado nos disse que , vamos ter . Então, nossa equação fica assim:
Repare que substituímos por e por , beleza? Agora aplicando a propriedade distributiva nesse produto, podemos separar o nosso integrando em duas integrais na forma:
Agora observe que a integral da esquerda representa a superfície gerada pela rotação da função em torno do eixo no intervalo . Chamando essa integral de superfície de , vamos ter:
Mas, lembra da fórmula do comprimento de arco? Ela é dada por:
E é isso que nós temos ali na equação. Então, podemos substituir toda aquela integral por e escrever:
E escrevemos em função de e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉