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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 7

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução.

7-

e x s e n y - 2 y s e n x + e x c o s y + 2 c o s x y ' = 0

Passo 1

Bom, a equação diferencial é exata, então podemos escrever ela na forma:

M x , y + N x , y y ' = 0

E verificar fazendo as derivadas parciais em relação a x para N e em relação a y para M :

M y = e x c o s y - 2 s e n x

N x = e x c o s y - 2 s e n x

Logo,

M y = N x

Então existe uma função ψ ( x , y ) onde:

ψ x x , y = M x , y = e x s e n y - 2 y s e n x

E

ψ y x , y = N x , y = e x c o s y + 2 c o s x

Passo 2

Vamos então integrar a primeira equação em relação a x :

ψ x , y = e x s e n y + 2 y c o s x + g ( y )

O que faz aparecer uma função de y .

Derivamos ela em relação a y :

ψ y x , y = e x c o s y + 2 c o s x + g ' ( y )

E a única diferença entre a derivação de ψ e N é a função g ' ( y ) , que nesse caso, para ficar igual a N , precisa ser zero:

g ' y = 0

Isso implica que:

g y = 0

Passo 3

Nossa função primitiva então é:

ψ x , y = e x s e n y + 2 y c o s x

E a solução da equação dada implicitamente fica:

e x s e n y + 2 y c o s x = c

Resposta

e x s e n y + 2 y c o s x = c

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