Enunciado

Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + x y ' + ( x 2 - v 2 ) y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método encontrado no exercício anterior, no qual a equação adjunta precisa satisfazer a seguinte equação:

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

Após vermos se a condição é satisfeita, iremos montar nossa equação adjunta.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos encontrar os coeficientes. Temos que nossa equação já está na forma perfeita para destacarmos os coeficientes. Ficamos com

P x = x 2

Q x = x

R x = x 2 - v 2

Se manipularmos cada termo individualmente, vamos ter que

2 P ' - Q = 4 x - x = 3 x

P ' ' - Q ' + R = 2 - 1 + x 2 - v 2 = 1 + x 2 + v 2

E isso obrigatoriamente deve ser igual a zero. Como sempre irá existir um μ para que essa relação seja satisfeita, temos que essa equação adjunta existe e é dada por

x 2 μ ' ' + 3 x ⋅ μ ' + 1 + x 2 + v 2 μ = 0

Resposta

x 2 μ ' ' + 3 x ⋅ μ ' + 1 + x 2 + v 2 μ = 0

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