Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 6
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:
O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!
O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1, a gente sabe disso pois um dos seus limites de integração é infinito.
Por definição temos que:
Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?
A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!
Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!
Passo 2
Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:
Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?!
Temos então:
Agora podemos usar a regra da potência:
Então:
Passo 3
Agora vamos voltar aos limites de integração:
Lembrando que queríamos calcular:
Então precisamos avaliar:
Essa é uma função exponencial, então quando vai para infinito temos:
Portanto a integral é divergente!
Resposta
diverge