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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 24

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

24 )   ∫ 1 + ∞ d t t 4 + t ²  

Passo 1

Para começar, quando temos um extremo superior infinito podemos usar a igualdade:

∫ 1 + ∞ d t t 4 + t ²   = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d t t 4 + t ²  

Tirando a Fração parcial:

1 t 4 + t ² = 1 t 2 - 1 t 2 + 1

Substituindo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d t t 4 + t ²   = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d t t ²   - lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d t t 2 + 1   = lim b → + ∞ ⁡ - 1 t - t g - 1   t b 1 = lim b → + ∞ ⁡ - 1 b - 1 - t g - 1   b - t g - 1   1 = 1 - π 4

Sendo assim, a integral converge para 1 - π 4 .

Resposta

∫ 1 + ∞ d t t 4 + t ²   = 1 - π 4

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