Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 34
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente
Passo 1
Opa! Bora resolver esse problema, o enunciado nos da essa integralzinha aqui:
Temos que responder se ela é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!
Não tem infinito nos limites de integração, então de cara podemos descartar a possibilidade dela ser integral imprópria do tipo 1. Vamos investigar seu domínio então. Devemos ter:
A integração vai de até , então a função não é contínua dentro do limite de integração. Ela vai ser uma integral imprórpeia do tipo 2!
Nesse caso podemos dividir a integral da seguinte forma:
Agora temos duas integrais, uma com descontinuidade no limite superior e outra no inferior. Por definição temos que:
Para descontinuidades no limite superior. Quando a descontinuidade é no limite inferior temos:
Então:
Passo 2
Vamos calcular a integral:
Podemos resolver usando integral por substituição, fazendo:
Substituindo:
Podemos separar essa integral, fazendo:
Integrando:
Voltando a variável original:
Passo 3
Agora vamos aplicar o limite de integração para a primeira integral:
O problema aqui é que é indefinido, isso significa que o limite não pode ser calculado. Portanto a nossa integral é divergente!
Resposta
diverge