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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 26

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

26 )   ∫ - ∞ 0 x . e x . d x  

Passo 1

Para começar, quando temos um extremo inferior infinito podemos usar a igualdade:

∫ - ∞ 0 x . e x . d x   = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x . e x . d x  

Se fizermos integral por partes:

u = x → d u = d x

d v = e x . d x → v = e x

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 u . d v   = u . v - ∫ a 0 v . d u  

Sendo assim:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x . e x . d x   = x . e x - lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e x . d x   = l i m a → - ∞ ( x . e x - e x ) | 0 a = 0 . e 0 - a . e a - e 0 - e a = - 1

Sendo assim, a integral converge para - 1 .

Resposta

∫ - ∞ 0 x . e x . d x   = - 1

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