Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 76
Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá! A questão propõe a verificação da equação de Laplace: para cada item.
Para isso, devemos obter as derivadas parciais de segunda ordem e , e aplicar na equação de Laplace para verificar a igualdade.
Para isso vamos seguir o processo normal de encontrar derivadas parciais: fixar a variável que não está envolvida na derivação e calcular normal! Em seguida substituiremos na equação e comprovamos, ou não, sua igualdade.
Passo 2
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, não é solução da equação de Laplace.
Passo 3
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, é solução da equação de Laplace.
Passo 4
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, não é solução da equação de Laplace.
Passo 5
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Nesse caso usamos a regra da cadeia:
Onde
De forma que
Derivando em novamente usando a regra do quociente, temos
Para encontrar , e consequentemente , podemos observar a “simetria” da função, de forma que:
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, é solução da equação de Laplace.
Passo 6
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Lembrando que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico e vice-versa.
Derivando em novamente, temos
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, é solução da equação de Laplace.
Passo 7
Temos a equação
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos em
Derivando em novamente, temos
Agora que temos e podemos verificar a condição da equação de Laplace:
Logo, é solução da equação de Laplace.
Resposta
(a) Não é solução da equação de Laplace
(b) É solução da equação de Laplace
(c) Não é solução da equação de Laplace
(d) É solução da equação de Laplace
(e) É solução da equação de Laplace
(f) É solução da equação de Laplace