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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 76

Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u x x + u y y = 0

u = x 2 + y 2

u = x 2 - y 2

u = x 3 + 3 x y 2

u = ln ⁡ x 2 + y 2

u = s e n   x cosh ⁡ y + cos ⁡ x s e n h   y

u = e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá! A questão propõe a verificação da equação de Laplace: u x x + u y y = 0 para cada item.

Para isso, devemos obter as derivadas parciais de segunda ordem u x x   e u y y , e aplicar na equação de Laplace para verificar a igualdade.

Para isso vamos seguir o processo normal de encontrar derivadas parciais: fixar a variável que não está envolvida na derivação e calcular normal! Em seguida substituiremos na equação e comprovamos, ou não, sua igualdade.

Passo 2

Temos a equação

u = x 2 + y 2

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

u x = 2 x

Derivando em x novamente, temos u x x

u x x = 2

Da mesma forma, para encontrar u y , tratamos x como constante e derivamos em y

u y = 2 y

Derivando em y novamente, temos u y y

u y y = 2

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

2 + 2 = 4

Logo, não é solução da equação de Laplace.

Passo 3

Temos a equação

u = x ² - y ²

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

u x = 2 x

Derivando em x novamente, temos u x x

u x x = 2

Da mesma forma, para encontrar u y , tratamos x como constante e derivamos em y

u y = - 2 y

Derivando em y novamente, temos u y y

u y y = - 2

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

2 + ( - 2 ) = 0

Logo, é solução da equação de Laplace.

Passo 4

Temos a equação

u = x 3 + 3 x y 2

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

u x = 3 x ² + 3 y ²

Derivando em x novamente, temos u x x

u x x = 6 x

Da mesma forma, para encontrar u y , tratamos x como constante e derivamos em y

u y = 6 x y

Derivando em y novamente, temos u y y

u y y = 6 x

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

6 x + 6 x = 12 x

Logo, não é solução da equação de Laplace.

Passo 5

Temos a equação

u = ln ⁡ x ² + y ²

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

Nesse caso usamos a regra da cadeia:

u x = d ln ⁡ u d u ⋅ d   x ² + y ² d x

Onde

d   x ² + y ² d x = d v d v ⋅ d x 2 + y 2 d x

De forma que

u x = 1 x ² + y ² ⋅ 2 x 2 x ² + y ²

u x = x x ² + y ²

Derivando em x novamente usando a regra do quociente, temos u x x

u x x = x 2 + y 2 - x ⋅ 2 x ( x ² + y ² ) ²

u x x = y ² - x ² x 2 + y 2 2

Para encontrar u y , e consequentemente u y y , podemos observar a “simetria” da função, de forma que:

u y y =   x ² - y ² x 2 + y 2 2

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

y ² - x ² x 2 + y 2 2 + x ² - y ² x 2 + y 2 2 = 0

Logo, é solução da equação de Laplace.

Passo 6

Temos a equação

u = s e n   x cosh ⁡ y + cos ⁡ x s e n h   y

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

u x = c o s   x cosh ⁡ y - s e n   x   s e n h   y

Derivando em x novamente, temos u x x

u x x = - s e n   x cosh ⁡ y - cos ⁡ x s e n h   y

Da mesma forma, para encontrar u y , tratamos x como constante e derivamos em y

Lembrando que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico e vice-versa.

u y = s e n   x senh ⁡ y + cos ⁡ x c o s h   y

Derivando em y novamente, temos u y y

u y y = s e n   x cosh ⁡ y + cos ⁡ x s e n h   y

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

- s e n   x cosh ⁡ y - cos ⁡ x s e n h   y + s e n   x cosh ⁡ y + cos ⁡ x s e n h   y = 0

Logo, é solução da equação de Laplace.

Passo 7

Temos a equação

u = e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

Para encontrar u x , tratamos y como constante e derivamos em x

u x = - e - x cos ⁡ y + e - y sen ⁡ x

Derivando em x novamente, temos u x x

u x x = e - x cos ⁡ y + e - y cos ⁡ x

Da mesma forma, para encontrar u y , tratamos x como constante e derivamos em y

u y = - e - x sen ⁡ y + e - y cos ⁡ x

Derivando em y novamente, temos u y y

u y y = - e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

Agora que temos u x x e u y y podemos verificar a condição da equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

e - x cos ⁡ y + e - y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x = 0

Logo, é solução da equação de Laplace.

Resposta

(a) Não é solução da equação de Laplace

(b) É solução da equação de Laplace

(c) Não é solução da equação de Laplace

(d) É solução da equação de Laplace

(e) É solução da equação de Laplace

(f) É solução da equação de Laplace

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