Se f(x, y) = 16 - 4 * x² - y² , encontre f_x(1,2) e f_y(1,2) e interprete esses números como inclinações. Ilustre com esboços desenhados à mão ou gráficos de computador.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função f x , y e nos pede suas derivadas parciais no ponto 1,2 . Pra fazer isso a gente lembra que pra determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Depois de fazer isso, temos ainda que esboçar essas derivadas parciais como inclinações, isto é, a questão quer que a gente associe o conceito de derivadas (que era reta tangente, lembra?) no desenho do gráfico original!

Passo 2

Antes de qualquer coisa temos que encontrar as derivadas parciais, né?

Seja a função

f x , y =   16 - 4 x 2 - y ²

Para determinar f x 1,2 , fixamos o valor de y e derivamos em relação a x . Assim, temos:

f x =   - 8 x

Para determinar f y 1,2 , fixamos o valor de x e derivamos em relação a y . Assim, temos:

f y =   - 2 y

Passo 3

Mas lembra que queremos os valores dessas derivadas no ponto 1,2 .

Então substituindo os valores de x e y do nosso ponto nas derivadas parciais encontradas, nós encontramos:

f x 1,2 =   - 8

f y 1,2 =   - 4

Passo 4

Para modelar o gráfico temos algumas opções:

O MATLAB é a melhor opção, perfeito pra qualquer questão assim, mas além de pago ele é um software bem pesado. Aí que entra o GeoGebra: Além de ser gratuito ele ainda roda no navegador!

O processo vai ser o seguinte: Pesquise por “GeoGebra” no navegador (ou vá nesse link: geogebra.org/calculator), selecione “Calculadora 3D” e insira a função e o ponto 1,2 no campo “Entrada”.

Você vai ver algo assim:

Mas queremos demonstrar os valores das derivadas que encontramos como retas tangentes a esse gráfico. Para isso, usando o valor da inclinação que encontramos e o ponto no gráfico que já temos, podemos desenhar as retas!

Obs.: Para desenhar as retas você pode usar a função Segmento em dois pontos que pertençam à reta tangente.

Quando a derivada parcial é em relação a x :

Quando a derivada parcial é em relação a y :

O objetivo desse item era nos fazer associar o conceito de derivadas que tínhamos com o novo conceito de derivadas parciais. Observe, por exemplo, na reta que demonstra f x 1,2 , o valor de y é constante e conforme x cresce, o valor da função diminui (já que o valor da derivada deu negativo).

Resposta

f x 1,2 =   - 8

f y 1,2 =   - 4

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