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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 16

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y , z = i ^ + s e n   z   j ^ + y cos ⁡ z k ^

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos ver o que está sendo pedido.

A questão quer que determinamos se esse campo vetorial

F x , y , z = i ^ + s e n   z   j ^ + y cos ⁡ z k ^

É conservativo ou não, e se for, achar alguma função f , que quando calcularmos o seu gradiente ∇ f , ela precisa ser igual ao campo vetorial F → .

O gradiente pode ser calculado assim:

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z

Então, precisamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma!

Um campo conservativo é aquele em que o rotacional de F é nulo

∇ × F → = 0 →

E para calcular o rotacional com 3 coordenadas, fazemos

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z

∇ × F ^ = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Ok? Portanto, começaremos calculando o rotacional para saber se o campo é conservativo ou não, e o próximo passo é buscar verificar a cara de f .

Partiu?

Passo 2

Calculando o rotacional, lembrando que

F x , y , z = i ^ + s e n   z   j ^ + y cos ⁡ z k ^

Vamos ter

F x = 1

F y = sen ⁡ z

F z = y cos ⁡ z

Logo,

∇ × F ^ =   d y cos ⁡ z d y - d s e n   z d z i ^ + d 1 d z - d y cos ⁡ z d x j ^ + d s e n   z d x - d 1 d y k ^  

∇ × F ^ = cos ⁡ z - cos ⁡ z i ^ + 0 - 0 j ^ + 0 - 0 k ^ = 0

Logo o campo conservativo.

Passo 3

Vamos agora tentar calcular a função f . Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

Se ∇ f = F → , isso implica que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso. Se

∂ f ∂ x = F x

∂ f ∂ x = 1

Integrando em relação à x :

f = ∫ 1   d x

f = x + C ( y , z )

Como integramos em relação à x , precisamos colocar uma constante que depende das outras coordenadas, ok?

Podemos fazer isso com qualquer componente, mas como F x = 1 , a integral fica muito mais fácil!

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor dessa constante C ( y , z ) .

Vamos derivar em essa função em relação direção y , temos

∂ f ∂ y = ∂ x + C ( y , z ) d y

∂ x + C ( y , z ) ∂ y = C ' y , z

Agora temos a função f derivada em relação à y . Mas o que era mesmo essa derivada? Lembra que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Então, essa derivada é

C ' y , z = ∂ f ∂ y

Que é o componente F y do campo vetorial! Como

F y = sen ⁡ z

∂ f ∂ y = s e n   z

Isso implica que

C ' y , z = sen ⁡ z

Integrando essa constante em relação à y :

C y , z = ∫ sen ⁡ z d y

C y , z = y   s e n   z +   C ( z )

Novamente, tivemos que colocar outra constante em relação à coordenada que ainda não descobrimos.

Beleza, só falta mais um.

Passo 5

Continuando, vamos derivar de novo nossa f , mas em relação à z , teremos

∂ f ∂ z = ∂ x + y   s e n   z + C ( z ) ∂ x

∂ x + y   s e n   z + C ( z ) ∂ z = y cos ⁡ z + C ' z

Lembra comigo que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Como a nossa derivada é

∂ f ∂ z = y cos ⁡ z + C ' z

E que

F z = y cos ⁡ z

Vamos ter, então

y cos ⁡ z + C ' z = y cos ⁡ z

Cancelando os termos iguais

C ' z = 0

Integrando em relação à z

C z = ∫ 0 d z

C z = C

Agora colocamos apenas uma constante qualquer! Pois já achamos todos os componentes!

Passo 6

Show de bola! Agora vamos juntar tudo que achamos.

f = x + C ( y , z )

C y , z = y   s e n   z +   C ( z )

C z = C

Substituindo

f = x + C ( y , z )

f = x + y   s e n   z +   C ( z )

f = x + y   s e n   z + C

Logo nossa f se resume a

f =   x + y   s e n   z + C

Resposta

Campo é conservativo e f =   x + y   s e n   z + C

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