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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 15b

Um escoamento é representado pelo campo de velocidade

v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k →

Verificar se o escoamento é:

b) irrotacional.

Passo 1

Queremos saber se o campo dado é irrotacional, para isso basta calcularmos o rot ⁡ v → e verificar se é igual a 0 → . Se rot ⁡ v → = 0 → , o campo é irrotacional.

Passo 2

Então podemos calcular rot ⁡ f → fazermos o seguinte:

rot ⁡ v →   = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v 1 v 2 v 3

rot ⁡ v → = ∂ v 3 ∂ y - ∂ v 2 ∂ z i → + ∂ v 1 ∂ z - ∂ v 3 ∂ x j → + ∂ v 2 ∂ x - ∂ v 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em v → temos:

rot ⁡ v → = ∂ 2 x 2 y 2 ∂ y - ∂ x z ∂ z i → + ∂ y 2 + z 2 ∂ z - ∂ 2 x 2 y 2 ∂ x j → + ∂ x z ∂ x - ∂ y 2 + z 2 ∂ y k →

rot ⁡ v → = 4 x 2 y - x i → + 2 z - 4 x y 2 j → + z - 2 y k →

Temos então rot ⁡ v → = 4 x 2 y - x i → + 2 z - 4 x y 2 j → + z - 2 y k → , portanto o campo não é irrotacional.

Resposta

rot ⁡ v → = 4 x 2 y - x i → + 2 z - 4 x y 2 j → + z - 2 y k →

Campo não é irrotacional.

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