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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 16

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = e z   i + j + x e z   k

Passo 1

E aê, minha galera! Tudo show? 😉

Precisamos determinar se esse campo vetorial aqui

F x , y , z = e z   i + j + x e z   k

É conservativo ou não. E se for, determinar uma função para

F = ∇ f

Primeiro, pra saber se é conservativo ou não, precisamos comprovar isso pelo rotacional, dado pela fórmula

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

Onde pra gente

F x = e z

F y = 1

F z = x e z

Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo.

Passo 2

Então vamos calcular o rotacional pela fórmula abaixo:

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e z 1 x e z

Teremos

∂ ∂ y x e z - ∂ ∂ z 1 i - ∂ ∂ x x e z - ∂ ∂ z e z j + ∂ ∂ x 1 - ∂ ∂ y e z k

Organizando, chegaremos a

0 - 0 i - e z - e z j + 0 - 0 k

r o t   F = 0

Como o domínio de F é todo o espaço, e r o t   F = 0 então F é conservativo.

Passo 3

Para achar f , vamos integrar e z em relação a x

f = ∫ e z   d x

f = x e z + g ( y , z )

Com g uma constante.

E sabemos que

f y = 1

f z = x e z

Então derivando a função que encontramos em relação a z e igualando e organizando

∂ f ∂ z = x e z + ∂ g ∂ z

x e z + ∂ g ∂ z = x e z

Chegamos a

∂ g ∂ z = 0

Como a variação em relação a z é 0 , g só depende de y

g = g ( y )

E temos

f = x e z + g ( y )

Logo, derivando em y

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ y

∂ g ∂ y = 1

g = ∫ d y

g = y + C

Portanto, nossa função é

f = x e z + y + C

Resposta

F é conservativo.

f = x e z + y + C

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Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?d) f → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2 em D = x , y , z 0x 2 + y 2 + z 21
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?c) f → x , y = x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 em D = x , y x 2 + y 21
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.b) f → = 1 + y sen ⁡ x i → + 1 - cos ⁡ x j →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.c) f → = ln ⁡ x y i → + ln ⁡ y z j → + ln ⁡ z x k →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.a) f → = 2 x i → + 5 y z j → + x 2 y 2 z 2 k →