Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = y e - x   i + e - x j + 2 z   k

Passo 1

Fala, galera! Tudo joia?

A questão quer saber se o campo vetorial:

F x , y , z = y e - x   i + e - x j + 2 z   k

É conservativo ou não. Um campo vetorial conservativo então:

r o t   F = 0

E calculamos o rotacional do campo F pelo produto vetorial:

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

Onde P , Q , R são as componentes da nossa função campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

Passo 2

Vamos começar montando nossa matriz. Primeiro vamos achar P , Q , R . Temos o seguinte formato de função campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

No nosso exercício temos:

F x , y , z = y e - x   i + e - x j + 2 z   k    

Então:

P = y e - x

Q = e - x

R = 2 z

Substituindo na matriz:

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y e - x e - x 2 z

Agora podemos calcular o produto vetorial. Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando.

∇ × F = ∂ ∂ y ∂ ∂ z e - x 2 z i - ∂ ∂ x ∂ ∂ z y e - x 2 z j + ∂ ∂ x ∂ ∂ y y e - x e - x k

Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

= ∂ ∂ y 2 z - ∂ ∂ z e - x i - ∂ ∂ x 2 z - ∂ ∂ z y e - x j + ∂ ∂ x e - x - ∂ ∂ y y e - x k

Agora resolvemos as derivadas parciais de dentro dos parênteses e ficamos com:

r o t   F = ∇ × F = 0 - 0 i - 0 - 0 j + - e - x - e - x k

Então:

r o t   F = - 2 e - x   k ≠ 0

Como r o t   F ≠ 0 então F não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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