Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 17

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que

Passo 1

Fala, galera! Tudo joia?

A questão quer saber se o campo vetorial:

É conservativo ou não. Um campo vetorial conservativo então:

E calculamos o rotacional do campo pelo produto vetorial:

Onde , , são as componentes da nossa função campo:

Passo 2

Vamos começar montando nossa matriz. Primeiro vamos achar , , . Temos o seguinte formato de função campo:

No nosso exercício temos:

Então:

Substituindo na matriz:

Agora podemos calcular o produto vetorial. Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando.

Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

Agora resolvemos as derivadas parciais de dentro dos parênteses e ficamos com:

Então:

Como então não é conservativo.

Resposta

não é conservativo.

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Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2

Para um escoamento no plano x y , a componente em x da velocidade é dada por 2 x y + x 2 + y 2 . Determinar uma possível componente em y para escoamento incompressível.

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?e) f → x , y , z = x 2 sen ⁡ y + z , y cos ⁡ y + 1 , z 2 - x y em R 3

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?b) f → x , y = x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 em D = x , y x - 3 2 + y - 5 23