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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 16

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = 2 x z + y 2 i → + 2 x y   j → +   x 2 + 3 z 2 k → ,   C : x = t 2 ,   y = t + 1 ,   z = 2 t - 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo F → é:

F → = F x i → + F y j → + F z k →

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( 2 x z + y 2 ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , z , digamos g ( y , z ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x 2 z + y 2 x + g ( y , z )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y , z ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 2

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = 2 x y + g y ( y , z )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = 2 x y

E agora vamos igualar os dois lados!

2 x y = 2 x y + g y ( y , z )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y , z :

g y y , z = 0

∫ g y ( y , z ) d y = 0

g y , z = h ( z )

E a função potencial é:

f x , y , z = x 2 z + y 2 x + h ( z )

Mas e agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao derivar a função potencial em relação à y surge uma constante em z . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à z , igualar à F z e depois integrar em relação à z ! Vamos lá?

Passo 3

Show! Vamos derivar a função potencial em relação a z : ∂ f ∂ z = x 2 + h ' ( z )

Beleza! E agora comparando com a componente F z do passo 1 temos:

F z = x 2 + 3 z 2 = x 2 + h ' ( z )

Agora vamos integrar em z :

∫ h ' ( z ) d z = ∫ 3 z 2   d z

h z = z 3 + C

Agora sim aqui C é uma constante mesmo =)

E a função f x , y , z é :

f x , y , z = x 2 z + y 2 x + z 3 + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é t = 0 e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   t + 1,2 t - 1

r → 0 = ( 0,1 , - 1 )

E a função nesse ponto é:

f 0,1 , - 1 = 0 2 . - 1 + 1 2 . 0 + - 1 3 + C = - 1 + C

Agora temos que o ponto final é t = 1 e nesse instante o ponto é:

r → t = t 2 ,   t + 1,2 t - 1

r → 1 = ( 1,2 , 1 )

E a função nesse ponto é:

f 1,2 , 1 = 1 2 . 1 + 2 2 . 1 + 1 3 + C = 6 + C

Então:

f 1,2 , 1 = 6 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 6 + C - - 1 + C = 6 + 1 = 7

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 7 !

Resposta

( a ) f x , y , z = x 2 z + y 2 x + z 3 + C

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = 7  

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Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 i → + x j → + z k → sobre uma partícula ao longo de C , que é mostrado na Figura 9.34.
Calcular a integral I = ∫ C ( e x d x + z d y + cos ⁡ y d z ) ao longo de C , que é mostrado nas figuras 9.35 , 9.36 e 9.37 .
7. Determinar o trabalho realizado pela força f → x , y , z = ( y , x , z 2 ) para deslocar a partícula ao longo da hélice dada por r → t = ( 2 cos ⁡ t ,2 sen ⁡ t ,2 t ) do ponto A ( 2,0 , 0 ) ao pont
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Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.15. f → x , y , z = ( x ,y , z ) ; C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 - 2 y = 0 e z = y