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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 34

Determine a derivada da função y = 4 x sqrt(x + sqrt(x))

Passo 1

Primeiro iremos aplicar a regra da multiplicação:

(d y)/(d x) = (d [ 4 x sqrt(x + sqrt(x)) ])/(d x) = (d ( 4 x ))/(d x) * sqrt(x + sqrt(x )) + 4 x * (d [ sqrt(x + sqrt(x)) ])/(d x)

Passo 2

Para derivar o primeiro termo, podemos tirar o 4 da derivada porque é uma constante:

(d ( 4 x ))/(d x) = 4 * (d ( x ))/(d x) = 4

Passo 3

Já para o segundo termo, iremos usar a regra da cadeia. Derivamos de fora para dentro: primeiro derivamos a raiz de fora e depois derivamos o que sobra dentro da raiz:

(d [ sqrt(x + sqrt(x)) ])/(d x) = (1)/(2) * (1)/(sqrt(x + sqrt(x))) * (d ( x + sqrt(x) ))/(d x)

Passo 4

Como temos a derivada de uma soma, podemos reescrever como sendo a soma das derivadas:

(1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) * (d ( x + sqrt(x) ))/(d x) = (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) * [(d ( x ))/(d x) + (d ( sqrt(x )))/(d x)] = (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) * [1 + (1)/(2 sqrt(x))]

Resposta

Juntando todos os termos:

(d y)/(d x) = 4 sqrt(x + sqrt(x )) + 4 x * (1)/(2 sqrt(x + sqrt(x))) * [1 + (1)/(2 sqrt(x))] = (1)/(sqrt(x + sqrt(x))) * [4 ( x + sqrt(x ) ) + 2 x (1 + (1)/(2 sqrt(x)))]

(d y)/(d x) = (6 x + 5 sqrt(x ))/(sqrt(x + sqrt(x)))

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