Encontre dy/dx:

y = cos^3(sen(2x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função ( 2 x ) dentro de outra s e n que ainda está dentro de mais uma ( c o s ) e nós ainda temos o cosseno ao cuboo.

Eita lasqueraa !!

Vamos começar chamando:

u = 2 x

Então:

v = sen ⁡ u

E ainda:

w = cos ⁡ v

E finalizamos com:

y = f w = w 3

Muito bem, já achamos u ,   v ,   w e f ( w ) . Agora precisamos achar d y d x , mas como?

Bem fácil:

d y d x = d f ( w ) d w . d w d v . d v d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x:

d u d x = 2

Agora vamos derivar v em função de u para achar d v d u :

d v d u = cos ⁡ u

Vamos agora achar a derivada de w em função de v :

d w d v = - sen ⁡ v

E por fim vamos derivar f ( w ) em relação a w :

d f ( w ) d w = 3 w 2

Agora vamos colocar na derivada d y d x :

d y d x = 3 w 2 × - sen ⁡ v × ( cos ⁡ u ) × 2

Substituindo u ,   v e w :

d y d x = - 6 co s 2 ⁡ v . s en ⁡ sen ⁡ u . cos ⁡ 2 x

d y d x = - 6 cos 2 ⁡ sen ⁡ u . sen ⁡ sen ⁡ 2 x . cos ⁡ 2 x

d y d x = - 6 cos 2 ⁡ sen ⁡ 2 x . sen ⁡ sen ⁡ 2 x . cos ⁡ 2 x

Bem Tranquilinha, não foi?

Resposta

d y d x = - 6 cos 2 ⁡ sen ⁡ 2 x . sen ⁡ sen ⁡ 2 x . cos ⁡ 2 x

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