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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 33

Encontre (d y)/(d x) :

y = cos^3 (sen 2 x)

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função ( 2 x ) dentro de outra s e n que ainda está dentro de mais uma ( c o s ) e nós ainda temos o cosseno ao cuboo.

Eita lasqueraa !!

Vamos começar chamando:

u = 2 x

Então:

v = sen u

E ainda:

w = cos v

E finalizamos com:

y = f (w) = w^3

Muito bem, já achamos u , v , w e f ( w ) . Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d f ( w ))/(d w) . (d w)/(d v) . (d v)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x:

(d u)/(d x) = 2

Agora vamos derivar v em função de u para achar (d v)/(d u) :

(d v)/(d u) = cos u

Vamos agora achar a derivada de w em função de v :

(d w)/(d v) = - sen v

E por fim vamos derivar f ( w ) em relação a w :

(d f ( w ))/(d w) = 3 w^2

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) :

(d y)/(d x) = (3 w^2) xx (- sen v) xx ( cos u ) xx 2

Substituindo u , v e w :

(d y)/(d x) = - 6 co s^2 (v) . s en (sen u) . cos 2 x

(d y)/(d x) = - 6 cos^2 (sen u) . sen (sen 2 x) . cos 2 x

(d y)/(d x) = - 6 cos^2 (sen 2 x) . sen (sen 2 x) . cos 2 x

Bem Tranquilinha, não foi?

Resposta

(d y)/(d x) = - 6 cos^2 (sen 2 x) . sen (sen 2 x) . cos 2 x

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