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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 35

Encontre (d y)/(d x) :

y = (5 x + 8)^7 (1 - sqrt(x))^6

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Como resolvemos este monstro?

Nem é tão complicado, vamos primeiro chamar:

f (x) = (5 x + 8)^7

g (x) = (1 - sqrt(x))^6

E lembrando da Regra do Produto:

(d y)/(d x) = g (x) . (d f ( x ))/(d x) + f ( x ) . (d g ( x ))/(d x)

Vamos começar chamando:

u = 5 x + 8

v = 1 - x^((1)/(2))

Então:

f (u) = u^7

g (v) = v^6

Lembrando que:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( v ))/(d v) . (d v)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) e (d v)/(d x) :

(d u)/(d x) = 5

(d v)/(d x) = - (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = - (1)/(2 sqrt(x))

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) em função de u :

(d f ( u ))/(d u) = 7 u^6

(d g ( v ))/(d v) = 6 v^5

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (7 u^6) . (5)

(d g ( x ))/(d x) = (6 v^5) . (- (1)/(2 sqrt(x)))

Substituindo u e v :

(d f ( x ))/(d x) = 35 . (5 x + 8)^6

(d g ( x ))/(d x) = - (3 (1 - sqrt(x))^5)/(sqrt(x))

E agora voltamos lá na Regra do Produto:

(d y)/(d x) = [(1 - sqrt(x))^6] . [35 . (5 x + 8)^6] + [(5 x + 8)^7] . [- (3 (1 - sqrt(x))^5)/(sqrt(x))]

(d y)/(d x) = 35 . (5 x + 8)^6 (1 - sqrt(x))^6 - (3)/(sqrt(x)) (1 - sqrt(x))^5 (5 x + 8)^7

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

(d y)/(d x) = 35 . (5 x + 8)^6 (1 - sqrt(x))^6 - (3)/(sqrt(x)) (1 - sqrt(x))^5 (5 x + 8)^7

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