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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 40

Encontre (d y)/(d x) :

y = [1 + sin^3 ( x^5 )]^(12)

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função ( x^5 ) dentro de outra s e n que ainda está elevado ao cubo e se encontra ainda dentro de outra sendo elevado a 12 !!

Eita lasqueraa !!

Vamos começar chamando:

u = x^5

Então:

v = sen u

E ainda:

w = 1 + v^3

E finalizamos com:

y = f (w) = w^(12)

Muito bem, já achamos u , v , w e f ( w ) . Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d f ( w ))/(d w) . (d w)/(d v) . (d v)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x:

(d u)/(d x) = 5 x^4

Agora vamos derivar v em função de u para achar (d v)/(d u) :

(d v)/(d u) = cos u

Vamos agora achar a derivada de w em função de v :

(d w)/(d v) = 3 v^2

E por fim vamos derivar f ( w ) em relação a w :

(d f ( w ))/(d w) = 12 w^(11)

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) :

(d y)/(d x) = (12 w^(11)) xx (3 v^2) xx ( cos u ) xx 5 x^4

Substituindo u , v e w :

(d y)/(d x) = 180 x^4 . [1 + v^3]^(11) . sen^2 u . cos (x^5)

(d y)/(d x) = 180 x^4 . [1 + sen^3 u]^(11) . sen^2 (x^5) . cos (x^5)

(d y)/(d x) = 180 x^4 . [1 + sen^3 (x^5)]^(11) . sen^2 (x^5) . cos (x^5)

Nem foi tão difícil, não é?

Resposta

(d y)/(d x) = 180 x^4 . [1 + sen^3 (x^5)]^(11) . sen^2 (x^5) . cos (x^5)

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7 -42 Encontre a derivada da função.y = sen (tan sqrt(sen x))