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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 76

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 25 ⁡ e x - log 5 ⁡ x

Passo 1

Bom, antes de começar a resolver, precisamos lembrar algumas propriedades de logaritmos:

Quando temos log b ⁡ a c = c   log b ⁡ a

log b c ⁡ a =   1 c log b ⁡ a

Relembrando essas propriedades, podemos reescrever a equação dada no enunciado da seguinte maneira:

y   =   log 25 ⁡ e x - log 5 ⁡ x

y = log 5 2 ⁡ e x - log 5 ⁡ x 1 2

y = 1 2   log 5 ⁡ e x -   log 5 ⁡ x 1 2

Observe que utilizamos também uma propriedade de radiciação escrevendo x   como x 1 2 . Beleza? Agora, podemos utilizar a regra de derivação para encontrar o que foi solicitado.

Passo 2

Bom, agora devemos lembrar da seguinte regra: se u é uma função derivável de x e u>0, a regra da cadeia nos leva seguinte fórmula:

Para a>0 e a≠1 temos:

d d x   log a ⁡ u = 1 u ln ⁡ a   .   u '

Utilizando a regra acima podemos resolver :

y = 1 2   log 5 ⁡ e x -   log 5 ⁡ x 1 2

d y d x =   1 2 . 1 e x ln ⁡ 5 .   e x -   1 x 1 2 ln ⁡ 5 .   1 2   x 1 2

Agora, efetuando as simplificações, segue:

d y d x =   1 2 ln ⁡ 5 -   1 2 ln ⁡ 5   x

Resposta

d y d x =   1 2 ln ⁡ 5 -   1 2 ln ⁡ 5   x

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