Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 82

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 7 ⁡ sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ

Passo 1

Antes de derivar vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x . sin ⁡ x =   sin ⁡ 2 x 2 :

Agora, podemos escrever a expressão sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ =   sin ⁡ 2 x 2 2 θ e θ =   sin ⁡ 2 x 2 . 1 2 θ e θ = sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Assim, y   =   log 7 ⁡ sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ + 1   → y = log 7 ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Ainda precisamos fazer mais uma alteração, antes de derivar vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Beleza?

Assim, podemos reescrever a equação dada como:

y =   ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ ln ⁡ 7 =   1 ln ⁡ 7 . ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Passo 2

Agora sim, podemos derivar...ufa!!

Vamos derivar ambos os lados da equação:

d y d θ =   1 ln ⁡ 7 .   ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ '

Para isso, vamos precisar da regra da cadeia d f ( u ) d θ =   d f d u . d u d θ

Considere f = ln ⁡ u   e   u = sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Assim d f d u =   1 u =   1 sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Para encontrar d u d θ vamos utilizar a regra do quociente:

d u d θ = 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) 4 1 + θ e 2 θ

Passo 3

Agora, é só unir tudo:

d y d θ =   2 1 + θ 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) ln ⁡ 7   .   4 1 + θ e 2 θ . sin ⁡ 2 x

Resposta

d y d θ =   2 1 + θ 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) ln ⁡ 7   .   4 1 + θ e 2 θ . sin ⁡ 2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que y = f ( x ) seja uma curva que está sempre acima do eixo x e que não tenha tangente horizontal, em que f é derivável em toda parte. Para quais valores de y a taxa de variação de y 5 em rel
a) Se n for um inteiro positivo, demonstre que d d x s e n n x cos ⁡ n x = ns e n n - 1 x cos ⁡ n + 1 x b) Encontre uma fórmula para a derivada de y = cos n ⁡ x cos ⁡ n x que seja similar àquela da pa
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão climático esférico. Em qualquer instante t , o volume do balão é V ( t ) e seu raio é r ( t ) .a) O que as derivadas d V / d t e d V / d r representam?b)
Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação y ' ' + 5 y - 6 = 0 .
O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como um amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma funçã