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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 82

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 7 ⁡ sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ

Passo 1

Antes de derivar vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x . sin ⁡ x =   sin ⁡ 2 x 2 :

Agora, podemos escrever a expressão sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ =   sin ⁡ 2 x 2 2 θ e θ =   sin ⁡ 2 x 2 . 1 2 θ e θ = sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Assim, y   =   log 7 ⁡ sin ⁡ θ .   cos ⁡ θ e θ .   2 θ + 1   → y = log 7 ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Ainda precisamos fazer mais uma alteração, antes de derivar vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Beleza?

Assim, podemos reescrever a equação dada como:

y =   ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ ln ⁡ 7 =   1 ln ⁡ 7 . ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Passo 2

Agora sim, podemos derivar...ufa!!

Vamos derivar ambos os lados da equação:

d y d θ =   1 ln ⁡ 7 .   ln ⁡ sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ '

Para isso, vamos precisar da regra da cadeia d f ( u ) d θ =   d f d u . d u d θ

Considere f = ln ⁡ u   e   u = sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Assim d f d u =   1 u =   1 sin ⁡ 2 x 2 θ + 1 .   e θ

Para encontrar d u d θ vamos utilizar a regra do quociente:

d u d θ = 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) 4 1 + θ e 2 θ

Passo 3

Agora, é só unir tudo:

d y d θ =   2 1 + θ 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) ln ⁡ 7   .   4 1 + θ e 2 θ . sin ⁡ 2 x

Resposta

d y d θ =   2 1 + θ 2 θ + 2 e θ . cos ⁡ 2 θ - sin ⁡ 2 θ ( ln ⁡ 2 .   2 1 + θ . e θ + 2 1 + θ e θ ) ln ⁡ 7   .   4 1 + θ e 2 θ . sin ⁡ 2 x

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