Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 23

Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar o domínio e a imagem de funções compostas que envolvem funções exponenciais. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de que satisfazem a nossa . Isto é, faz com que exista;
A imagem é o conjunto de todos os valores de , para cada valor de .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar e tais que:

O domínio da nossa será todos os valores de pertencentes ao domínio da função tais que, a imagem associada pertencem ao domínio da função . É por isto que precisamos determinar cada uma das funções. Vamos então para a questão.

Passo 2

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções e . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a . Analisando a nossa , podemos ver que:

Consequentemente, se fazemos , vamos obter a nossa que é:

Passo 3

Agora que obtivemos as funções e , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais e a sua imagem é o intervalo ).

Já a função é uma função raiz. Desta forma, ela só existirá quando os valores de dentro da raiz forem maiores ou iguais a zero. Isto é:

Portanto, o domínio da função é: . Já sua imagem pertence ao intervalo .

Passo 4

Pela definição descrita no Passo 1, como toda a imagem da função está contida no domínio da função , o domínio da função será o domínio da função , isto é:

Passo 5

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. Uma função raiz é uma função crescente, que tem como menor valor 0 e vai até o infinito. Desta forma, o menor valor de acontecerá quando , isto é: