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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 61

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

f x = x 2 - 1 ,     s e   x < 1 2 x + 3 ,     s e   1 ≤ x

Passo 1

Podemos definir o domínio como D f = x ∈ R y = f x ∈ R , ou seja, os valores de x que fazem a função existir. Já a imagem é formada pelos valores de y que pertencem à função, ou seja, I m f = y ∈ R y = f x .

Passo 2

Como não há valor de x que faça a função não existir,

D = R

Passo 3

y = f x

y = x 2 - 1 ,     s e   x < 1 2 x + 3 ,     s e   1 ≤ x

Para x < 1 , temos

x 2 ≥ 0   ∀   x ∈ R

x 2 - 1 ≥ - 1

y ≥ - 1

Para x ≥ 1 , como não temos nenhuma restrição na fórmula, temos

x ≥ 1

2 x ≥ 2

2 x + 3 ≥ 5

y ≥ 5

Para encontrar a imagem, fazemos a união desses dois intervalos, já que, para pertencer à função, y precisa estar em pelo menos um dos dois. E assim,

I m = y ∈ R y ≥ - 1 = - 1 ;   + ∞

Passo 4

E para construir o gráfico, vamos fazer a parábola y = x 2 - 1 , da esquerda para direita, até x = 1 e daí para frente faremos a reta y = 2 x + 3 e, como diz a lei da função, o valor de f 1 é dado pela segunda fórmula, então o ponto da parábola com x = 1 ficará aberto.

Resposta

D = R

I m = y ∈ R y ≥ - 1 = - 1 ;   + ∞

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Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = 3 x - 2 , g (x) = | x |
Sabendo que f = g ∘ h , nos itens a ,c ,e( d ) encontre a função h , e na ( b ) a função g . f x = x - 2 , h x = x - 2
Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = x^3 , g (x) = (1)/(root(3)(x))
Seja h definida por h (x) = 2 x - 7 . Calcule h @ h , h^2 , h + h .
Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = sqrt(x - 2) , g (x) = sqrt(x - 3)