Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 36
Determine a equação do plano.
36. O plano que passa pelo ponto e contém a reta com equações simétricas
Passo 1
Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por , onde é um ponto nesse plano e é o vetor normal ao plano.
Para encontrarmos um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores pertencentes a esse plano, olhando para a equação simétrica, conseguimos encontrar um vetor. Basta darmos o valor para uma das variáveis que automaticamente temos as outras duas. Então vamos dizer que , por exemplo.
Como ,
E como
Assim, descobrimos que o vetor pertence ao plano.
A questão nos disse que é um ponto nesse plano, e substituindo um valor aleatório para uma das variáveis na equação simétrica da reta, encontramos outro ponto. Fazendo , encontramos o ponto .
Agora com esses dois pontos, podemos encontrar o vetor que faltava ao fazermos a diferença entre eles:
Beleza! Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:
x
Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula: