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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 35

Determine a equação do plano.

35. O plano que passa pelo ponto 6,0 , - 2 e contém a reta x = 4 - 2 t ,   y = 3 + 5 t ,   z = 7 + 4 t

Passo 1

Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0 , onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto nesse plano e ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano.

Para encontrarmos um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores pertencentes a esse plano, olhando para a reta contida no plano, sabemos que o vetor ( - 2 , 5 , 4 ) pertence ao plano

A questão nos disse que ( 6,0 , - 2 ) é um ponto nesse plano, e substituindo um valor aleatório para t na equação da reta, encontramos outro ponto. Fazendo t = 0 , encontramos o ponto ( 4,3 , 7 ) .

Agora com esses dois pontos, podemos encontrar o vetor que faltava ao fazermos a diferença entre eles:

4,3 , 7 - 6 , 0 , - 2 = ( - 2,3 , 9 )

Beleza! Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

( - 2,5 , 4 ) x - 2,3 , 9 = i j k - 2 5 4 - 2 3 9 = ( 33,10 , 4 )

Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula:

33 x - 6 + 10 y - 0 + 4 z + 2 = 0

33 x - 198 + 10 y + 4 z + 8 = 0

33 x + 10 y + 4 z = 190

Resposta

33 x + 10 y + 4 z = 19 0

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O plano que passa pela reta intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .