Determine a equação do plano.

34. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta x = 3t, y = 1 + t, z = 2 - t

Passo 1

Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0 , onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto nesse plano e ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano.

Para encontrarmos um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores pertencentes a esse plano, olhando para a reta contida no plano, sabemos que o vetor ( 3,1 , - 1 ) pertence ao plano (basta fazer t = 1 )

A questão nos disse que ( 1,2 , 3 ) é um ponto nesse plano, e substituindo um valor aleatório para t na equação da reta, encontramos outro ponto. Fazendo t = 0 , encontramos o ponto ( 0,1 , 2 ) .

Agora com esses dois pontos, podemos encontrar o vetor que faltava ao fazermos a diferença entre eles:

1,2 , 3 - 0,1 , 2 = ( 1,1 , 1 )

Beleza! Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

( 3,1 , - 1 ) x 1 , 1 , 1 = i j k 3 1 - 1 1 1 1 = ( 2 , - 4,2 )

Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula:

2 x - 1 - 4 y - 2 + 2 z - 3 = 0

2 x - 2 - 4 y + 8 + 2 z - 6

2 x + 4 y + 2 z = 0

x + 2 y + z = 0

Resposta

x + 2 y + z = 0

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