Determine a equação do plano.34. O plano que passa pelo ponto 1 , 2 , 3 e contém a reta x = 3 t ,y = 1 + t ,z = 2 - t

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 34

Determine a equação do plano.

34. O plano que passa pelo ponto e contém a reta

Passo 1

Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por , onde é um ponto nesse plano e é o vetor normal ao plano.

Para encontrarmos um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores pertencentes a esse plano, olhando para a reta contida no plano, sabemos que o vetor pertence ao plano (basta fazer

A questão nos disse que é um ponto nesse plano, e substituindo um valor aleatório para na equação da reta, encontramos outro ponto. Fazendo , encontramos o ponto .

Agora com esses dois pontos, podemos encontrar o vetor que faltava ao fazermos a diferença entre eles:

Beleza! Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula:

Resposta

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Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto( 1,5 , 1 ) e é perpendicular aos planos 2 x + y - 2 z = 2 e x + 3 z = 4 .

Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( 2,4 , 6 ) e é paralelo ao plano z = x + y

Determine a equação do plano.O plano que passa pelos pontos ( 0 , - 2,5 ) e ( - 1,3 , 1 ) e é perpendicular ao plano 2 z = 5 x + 4 y .

Determine a equação do plano.O plano que passa pela reta de intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .

Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( 1 , - 1 , - 1 ) e é paralelo ao plano 5 x - y - z = 6