Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 36
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
Passo 1
E aí, gente? 😉
Precisamos encontrar uma equação do plano tangente a essa superfície parametrizada:
Onde
Com isso, teremos
Como
Passo 2
Pra gente calcular a tangente de um plano, temos que calcular os vetores tangentes a curva no ponto, fazendo as derivadas parciais de em relação a e a . Assim:
O primeiro vetor tangente a curva no ponto será com em relação a .
Substituindo e na fórmula, teremos
Substituindo, teremos:
Como
O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a . Jogando na fórmula, teremos:
Substituindo, teremos:
Como
Passo 3
Vamos calcular um vetor normal para o plano tangente, que é o produto vetorial de
Aqui você pode encontrar o determinante de muitas formas. Mas, utilizando o método de Sarrus, vamos encontrar:
Fazendo a soma entre o resultado das multiplicações entre as diagonais principais e subtraindo pelo resultado das multiplicações entre as diagonais secundárias, chegamos a esse resultado:
Passo 4
Logo o plano que é tangente a o vetor no ponto
e perpendicular a será:
Que, de forma reduzida, ficará: