Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 15

Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

x 2 + y 2 e y 2 - x 2

Passo 1

Essa questão nos pede para encontrar os pontos críticos dessa função de duas variáveis, e a partir desses pontos, descobrir quais desses pontos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.

No cálculo de uma variável, descobrimos um ponto crítico de uma função f ( x ) ao tomar sua primeira derivada de modo que

d   f ( x ) d x = 0

Calculada essa expressão e encontrados os pontos críticos, tomamos a segunda derivada da função avaliada no ponto crítico para descobrirmos se é um ponto de máximo ou de mínimo

d 2   f x 0 d x 2 > 0

d 2   f x 0 d x 2 < 0

d 2   f x 0 d x 2 = 0

Para uma função de mais de uma variável, temos testes análogos para obter os pontos críticos.

Dessa vez, no entanto, devemos levar em consideração as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos ( x o , y o )

∂ f x , y ∂ x = ∂ f ( x , y ) ∂ y = 0

Porém, diferente do caso de uma variável, o teste para se obter máximos, mínimos e pontos de sela é realizado a partir do determinante de uma matriz chamada matriz hessiana

D = f x x f x y f y x f y y = f x x f y y - f x y 2

Sendo f a b = ∂ f ∂ a ∂ b .

A partir do cálculo dessa determinante com as derivadas avaliadas em um ponto crítico ( x o , y o ) , temos que

D > 0   e   f x x x o , y o > 0 → f x o , y o é um ponto de mínimo local;

D > 0   e   f x x x o , y o < 0 → f x o , y o é um ponto de máximo local;

Se D < 0 , então f x o , y o é um ponto de sela.

Realizaremos esse teste para avaliar quais os pontos críticos da função.

Primeiro calcularemos suas derivadas parciais para obter os pontos críticos.

Em seguida calcular as derivadas segundas para calcular o determinante e descobrir quais os pontos de máximo, mínimo e de sela.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem

f x , y = x 2 + y 2 e y 2 - x 2

Para realizar as derivadas, devemos usar a regra do produto:

d d x f x g x = f x d g x d x + g x d f x d x

As derivadas em x são dadas por:

f x = 2 x e y 2 - x 2 + x 2 + y 2 e y 2 - x 2 - 2 x

= e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2

A segunda derivada em relação a x é dada por

f x x = e y 2 - x 2 - 2 x 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 + e y 2 - x 2 2 - 6 x 2 - 2 y 2

f x x = e y 2 - x 2 4 x 4 - 10 x 2 + 4 x 2 y 2 - 2 y 2 + 2

Já as derivadas em y são dadas por:

f y = 2 y e y 2 - x 2 + x 2 + y 2 e y 2 - x 2 2 y

= e y 2 - x 2 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3

A segunda derivada em relação a y é dada por

f y y = 2 + 2 x 2 + 6 y 2 e y 2 - x 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 e y 2 - x 2 2 y

f y y = 4 y 4 + 10 y 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x 2 + 2 e y 2 - x 2

E a derivada mista é dada por

f x y = ∂ ∂ y e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2

f x y = e y 2 - x 2 2 y 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 + e y 2 - x 2 - 4 x y

f x y = e y 2 - x 2 4 x y - 4 x 3 y - 4 x y 3 - 4 x y

f x y = - 4 e y 2 - x 2 x 3 y + x y 3

Passo 3

Agora vamos olhar os pontos críticos dessa função. Pra isso temos que ter f x = f y = 0

f x = e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 = 0

f y = e y 2 - x 2 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 = 0

Como a exponencial não zera, os caras a direita nas duas equações têm que ser nulos!

2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 = 0

2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 = 0

Na primeira equação se x = 0 a igualdade é mantida. Substituindo esse valor na segunda equação, temos

2 y + 2 ⋅ 0 2 ⋅ y + 2 y 3 = 0 → y + y 3 = 0

y 1 + y 2 = 0

Como y 2 ≥ 0 para y real, a nossa única solução é y = 0 para x = 0 . Então o nosso primeiro ponto crítico é 0,0 .

Na segunda equação se y = 0 a igualdade é mantida. Agora vamos jogar y = 0 na primeira equação

2 x - 2 x 3 - 2 x 0 2 = 0 → x - x 3 = 0

x 1 - x 2 = 0

As soluções dessa equação são x = 0 ou x = ± 1 . Como já vimos que ( 0,0 ) é um desses

pontos, os novos pontos que achamos são ( - 1,0 ) e ( 1,0 ) .

Em resumo temos 3 pontos críticos: ( 0,0 ) , ( - 1,0 ) e ( 1,0 ) .

Passo 4

Agora temos que fazer o teste da segunda derivada. Pra isso temos que calcular

D x , y = f x x f y y - f x y 2

No ponto ( 0,0 )

f x x 0,0 = e 0 4 ⋅ 0 4 - 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = 2

f y y 0,0 = 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 2 + 2 e 0 = 2

f x y = - 4 e 0 0 3 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 3 = 0

Então

D 0,0 = 2 ⋅ 2 - 0 = 4 > 0

( 0,0 ) é um mínimo local

4 y 4 + 10 y 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x 2 + 2 e y 2 - x 2

No ponto ( 1,0 )

f x x 0,0 = e - 1 4 ⋅ 1 4 - 10 ⋅ 1 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = - 4 e - 1

f y y 0,0 = e - 1 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 1 2 + 2 = 4 e - 1

f x y = - 4 e 0 1 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 3 = 0

Então

D 1,0 = - 4 e - 1 4 e - 1 - 0 = - 16 e - 2 < 0

( 1,0 ) é um ponto de sela.

No ponto ( - 1,0 )

f x x 0,0 = e - 1 4 ⋅ ( - 1 ) 4 - 10 ⋅ ( - 1 ) 2 + 4 ⋅ ( - 1 ) 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = - 4 e - 1

f y y 0,0 = e - 1 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ ( - 1 ) 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 2 = 4 e - 1

f x y = - 4 e 0 ( - 1 ) 3 ⋅ 0 + ( - 1 ) ⋅ 0 3 = 0

Então

D - 1,0 = - 4 e - 1 4 e - 1 - 0 = - 16 e - 2 < 0

( - 1,0 ) é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são 0,0 ,   - 1,0 e ( 1,0 )

0,0 é um mínimo local

( - 1,0 ) e ( 1,0 ) são pontos de sela.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.18. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
14.26. Utilize um dispositivo gráfico como no Exemplo 4 (ou Método de Newton ou um determinador de raízes) para estabelecer os pontos críticos de f com arredondamento na terceira casa decimal. Em segu
14.35. Para as funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum de mínimo local. Para as funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a fun
Utilize o gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = 3 x 2 y +
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de dela da função. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2