Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 35
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
Passo 1
Fala, gente legal! Tudo belê com vocês?
A questão pede pra gente determinar uma equação do plano tangente à superfície parametrizada por essa fórmula:
Com as seguintes informações:
Substituindo o que a questão nos deu, teremos então:
Como , então
Passo 2
Pra gente calcular a tangente de um plano, temos que calcular os vetores tangentes a curva no ponto, fazendo as derivadas parciais de em relação a e a . Assim:
O primeiro vetor tangente a curva no ponto será com em relação a .
Substituindo e na fórmula, teremos
O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a . Jogando na fórmula, teremos:
Passo 3
Agora precisamos calcular um vetor normal para o plano tangente, que é o produto vetorial de
Aqui você pode encontrar o determinante de muitas formas. Mas, utilizando o método de Sarrus, vamos encontrar:
Fazendo a soma entre o resultado das multiplicações entre as diagonais principais e subtraindo pelo resultado das multiplicações entre as diagonais secundárias, chegamos a esse resultado:
Logo, o plano que é tangente ao vetor no ponto
e perpendicular a será...
Que, de forma reduzida, ficará: