Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 31
Determine as fórmulas para e e estabeleça os domínios das compostas.
Passo 1
Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:
Dessa forma, o domínio da composição consiste em todo no domínio de com o qual está no domínio de . Como assim?
Vamos ver o domínio de e o de , depois, vamos ver quais os valores do domínio de que fazem se encaixar no domínio de . Vai ficar melhor na prática!
Show?? Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos ver quais são os domínios de e . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!
Temos nenhuma restrição aqui! pode assumir qualquer valor dentro dos reais!! Assim, o domínio de é:
E:
A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:
Logo, o domínio de é:
Passo 3
Primeiro, faremos .
Vamos colocar dentro de !! É só substituir o de pela função :
Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de que tornam um valor dentro do domínio de .
Bem, como é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que assume será um número maior ou igual a !
Agora, olhando para o domínio de , que são todos os números reais (positivos e negativos). Logo, um número maior ou igual a (que poderia assumir) está dentro desse intervalo de né? Sem problemas! Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de , pois todos os valores que assume estão no domínio de :
Passo 4
Agora, faremos .
Vamos colocar dentro de !! É só substituir o de pela função :
Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de que tornam um valor dentro do domínio de .
Já vimos que o domínio de consiste em todos os números reais (positivos e negativos), certo? Qualquer valor que assume nesse intervalo será ou um número positivo ou negativo, também!
Agora, olhando para o domínio de , que são os números igual ou menores que , apenas. Logo, qualquer número menor ou igual a (que poderia assumir) está dentro desse intervalo de né? Sem problemas! MAAAASS também pode assumir valores maiores que , que não estão no domínio de !
Olhando para , queremos que ela seja menor ou igual a , então! Assim:
Ou seja:
Ou
Dessa forma, está entre e . Pois, assim, .
Dessa forma, o domínio da composição será:
Resposta
;
;