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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 19

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

tg ⁡ x - s e n x . s e n y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação tg ⁡ x - s e n x . s e n y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = tg ⁡ x - s e n x . s e n y e N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ tg ⁡ x - s e n x . s e n y ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = - s e n x . c o s ⁡ ( y )

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( cos ⁡ x cos ⁡ y ) ∂ x

∂ N ∂ x = - s e n x . c o s ⁡ ( y )

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - s e n x . c o s ⁡ ( y )

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

tg ⁡ x - s e n x . s e n y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Com M x , y = tg ⁡ x - s e n x . s e n y e N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = tg ⁡ x - s e n x . s e n y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ tg ⁡ x - s e n x . s e n y   d x + g ( y )

f = ∫ tg ⁡ x   d x - ∫ s e n x . s e n y d x + g ( y )

Temos:

∫ tg ⁡ x   d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

E:

∫ s e n x . s e n y d x = s e n ( y ) ∫ s e n x d x

∫ s e n x . s e n y d x = - s e n y . cos ⁡ x + C

Então:

f = ∫ tg ⁡ x   d x - ∫ s e n x . s e n y d x + g ( y )

f = - ln ⁡ cos ⁡ x - ( - s e n y . cos ⁡ x ) + g ( y )

f = - ln ⁡ cos ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + g y     ( I )

Passo 5

Temos

f = - ln ⁡ cos ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + g y     ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = cos ⁡ x . cos ⁡ y + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = cos ⁡ x . c o s ⁡ ( y ) :

∂ f ∂ y = cos ⁡ x . cos ⁡ y + g ' ( y ) = cos ⁡ x . c o s ⁡ ( y )

Então:

g ' y = 0

Integrando em relação a y :

g y = C   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = - ln ⁡ cos ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + C

Podemos escrever - ln ⁡ cos ⁡ x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ cos ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = ln ⁡ sec ⁡ x :

f = ln ⁡ sec ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + C

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

ln ⁡ sec ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + C   = c

Resposta

É   e x a t a

ln ⁡ sec ⁡ x + s e n y . cos ⁡ x + C   = c

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