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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 11

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x + 4 y 2 d y + 2 y   d x = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

A equação dada nesse exercício não é linear em y , então vamos fazer uma coisa bem parecida com o exemplo 6 do seu livro: vamos inverter as variáveis. Primeiro, dividindo tudo por d x :

x + 4 y 2 d y d x + 2 y = 0

d y d x = - 2 y x + 4 y ²

Agora sim, invertendo as variáveis:

d x d y = - x + 4 y ² 2 y

Passando o termo - x 2 y pro outro lado:

d x d y + x 2 y = - 4 y ² 2 y

d x d y + x 2 y = - 2 y     ( I )

Então, ( I ) é uma equação diferencial linear na variável x , sendo escrita como d x d y + A y . x = B ( y )

A solução de uma equação diferencial linear em x é dada por:

x ( y ) = 1 I y ∫ I y . B y   d y + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = 1 2 y e B y = - 2 y então:

I y = e ∫ 1 2 y   d y

I y = e ln ⁡ y 2

I y = y 1 2

I y = y

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

x ( y ) = 1 y ∫ y . ( - 2 y )   d y + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ y . - 2 y d y = - 2 ∫ y 3 2   d y

∫ y . - 2 y d y = - 2 . y 5 2 5 2

Então

∫ y . - 2 y d y = - 4 y 5 2 5 = - 4 y 2 . y 1 2 5

Substituindo em ( I I I ) :

x y = 1 y - 4 y 2 . y 5 + c

x y = - 4 y 2 5 + c y

Sendo que y não pode nem ser negativo e nem igual a 0, por causa da raíz quadrada e do denominador:

0 < y < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

x y = - 4 y 2 5 + c y

0 < y < ∞

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