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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 13

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

x d y d x = 2 x e x - y + 6 x ²

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação x d y d x = 2 x e x - y + 6 x ² é exata

O primeiro passo é escrevermos ela no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , então:

x d y d x = 2 x e x - y + 6 x ²

x d y = 2 x e x - y + 6 x 2 d x

- 2 x e x - y + 6 x 2 d x + x d y = 0

Então, temos M ( x , y ) = - 2 x e x - y + 6 x 2 e N ( x , y ) = x

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ - 2 x e x + y - 6 x 2 ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 1

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ x ∂ x = 1

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 1

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Nossa equação é - 2 x e x - y + 6 x 2 d x + x d y = 0

Com M ( x , y ) = - 2 x e x - y + 6 x 2 e N ( x , y ) = x

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = - 2 x e x - y + 6 x 2

∂ f ∂ x = - 2 x e x + y - 6 x 2

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f beleza?

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ - 2 x e x + y - 6 x 2   d x + g ( y )

f = - 2 . ∫ x e x   d x + ∫ y - 6 x 2 d x + g y     ( I )

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente

Em ∫ x e x   d x , utilizamos integral por partes com u = x e d v = e x

Dessa forma, temos u = 1 e v = e x

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

∫ x e x   d x = x . e x - ∫ e x   d x

∫ x e x   d x = x . e x - e x + C

∫ x e x   d x = e x . x - 1 + C   ( I I )

Agora a segunda integral: ∫ y - 6 x 2 d x

Aqui vamos só utilizar as regrinhas fundamentais de derivação, lembrando que y é uma constante beleza??

∫ y - 6 x 2 d x = y . x - 6 x 3 3 + C  

∫ y - 6 x 2 d x = y . x - 2 x 3 + C     ( I I I )

Ufa, resolvemos as duas integrais, agora é só substituir lá na expressão ( I )

Passo 6

Temos

f = - 2 . ∫ x e x   d x + ∫ y - 6 x 2 d x + g y     ( I )

Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I )

f = - 2 . e x . x - 1 + y . x - 2 x ³ + g y

f = - 2 e x x + 2 e x + y . x - 2 x ³ + g y   ( I V )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = x :

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = x

Então:

g ' y = x - x

g ' y = 0

E g y = C   ( V )

Substituindo ( V ) em ( I V ) :

f = - 2 e x x + 2 e x + y . x - 2 x ³ + C

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

- 2 e x x + 2 e x + y . x - 2 x 3 + C = c

Resposta

É   e x a t a

- 2 e x x + 2 e x + y . x - 2 x 3 + C = c

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