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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 17

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. (b) use a parte (a) para calcular ∫ c F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F x , y , z = y z e x z   i ^ + e x z j ^ + x y e x z   k ^

C : r → t = ( t 2 + 1 )   i ^ + ( t 2 - 1 )   j ^ + ( t 2 - 2 t ) k ^ , 0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Faaaala galerinha, beleza?

Nessa questão temos o item (a) e (b) para determinarmos.

No item (a) devemos achar uma função f tal que F = ∇ f .

Já no item (b) vamos usar a parte de (a) para calcular a seguinte integral de linha ∫ c F → ⋅ d r → .

Dado que:

F x , y , z = y z e x z   i ^ + e x z j ^ + x y e x z   k ^

C : r → t = ( t 2 + 1 )   i ^ + ( t 2 - 1 )   j ^ + ( t 2 - 2 t ) k ^ , 0 ≤ t ≤ 2

Vamos com calma montar uma estratégia!!!

Para o item (a), devemos utilizar a seguinte relação para encontrar f :

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Vamos igualar cada componente de derivada com a respectiva componente do campo F . Vai ser um processo um pouco trabalhoso, pois vamos ter que integrar, depois derivar. Ir fazendo esse processo até encontrar uma expressão para f .

Para o item (b), vamos usar a seguinte relação:

∫ c F → ⋅ d r → = f r ( b ) - f r ( a )

Já sabemos f do item (a), e a parametrização foi dado no enunciado.

r → t = ( t 2 + 1 )   i ^ + ( t 2 - 1 )   j ^ + ( t 2 - 2 t ) k ^

0 ≤ t ≤ 2

Agora vamos colocar mão na massa!!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar pelo item (a).

Vamos utilizar a relação que mencionamos no passo 1 .

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Já conhecemos F → . Agora vamos igualar, assim:

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = ( y z e x z   , e x z , x y e x z )

Vamos começar igualando:

∂ f ∂ x =   y z e x z

Integrando os dois lados em relação a x , temos:

f = y e x z + C ( y , z )

Observe que apareceu uma constante C ( y , z ) conforme uma integral indefinida, e ela não pode depender de x . Pois derivando essa função em relação a x, devemos voltar a condição inicial.

Agora vamos derivar a expressão em relação a y . Vamos ter:

d f d y = e x z + d d y C ( y , z )

La na nossa relação inicial, temos que:

d f d y = e x z

Vamos substituir na igualdade acima, ficando com:

e x z = e x z + d d y C ( y , z )

Concluímos que:

d d y C y , z = 0

Se a derivada de uma função C ( y , z ) em relação a y é zero, só podemos concluir que C ( y , z )   não depende de y . Logo podemos dizer que:

C y , z = C ( z )

Passo 3

Assim, substituindo ficamos com a seguinte função de f :

f = y e x z + C ( z )

Precisamos achar quem é C ( z ) . Vamos derivar tudo em relação a z . Vamos ter:

d f d z = y x e x z + d d z C ( z )

Também conhecemos d f d z , que é:

d f d z =   x y e x z

Substituindo na igualdade acima, vamos ter:

x y e x z = y x e x z + d d z C ( z )

d d z C z = 0

C z = C

Logo, concluímos que:

f = y e x z + C

Passo 4

Agora devemos calcular a integral de linha:

∫ c F → ⋅ d r →

Onde,

C : r → t = ( t 2 + 1 )   i ^ + ( t 2 - 1 )   j ^ + ( t 2 - 2 t ) k ^ , 0 ≤ t ≤ 2

Aqui vamos utilizar a expressão encontrada no item (a):

f = y e x z + C

Podemos aplicar a seguinte relação:

∫ c F → ⋅ d r → = f r ( b ) - f r ( a )

Vamos primeiro parametrizar f ( r ( t ) ) . Desse jeito:

f ( r t ) = ( t 2 - 1 ) e ( t 2 + 1 ) ( t 2 - 2 t ) + C

Sabendo que:

a ≤ t ≤ b

0 ≤ t ≤ 2

Aplicando, vamos ter que:

∫ c F → ⋅ d r → = ( 2 2 - 1 ) e ( 2 2 + 1 ) ( 2 2 - 2 ( 2 ) ) + C - ( 0 2 - 1 ) e ( 0 2 + 1 ) ( 0 2 - 2 ( 0 ) ) + C

∫ c F → ⋅ d r → = 3 e 0 + C - - 1 e 0 + C

∫ c F → ⋅ d r → = 3 + C - - 1 + C

Logo, nossa resposta é:

∫ c F → ⋅ d r → = 4

Resposta

  1. f =   y e x z + C
  2. ∫ c F → ⋅ d r → = 4
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