Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 18
- Determine uma função tal que e
- (b) use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
Passo 1
Faala, pessoal!
Nessa questão nós temos um campo vetorial e queremos achar uma função potencial :
Isso quer dizer que, sendo ,
Pra descobrir quem é esse , vamos pegar uma dessas equações e integrar dos dois lados. Uma dica é pegarmos nesse caso a equação que envolve , porque ela é a componente que tem mais termos – isso vai facilitar nossa análise depois:
Daí, como integramos em função de , com e constantes, a constante de integração vai depender de e . Pra saber quem é essa constante, vamos fazer:
Depois de definirmos , precisamos calcular uma integral de linha. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
Onde , com é uma parametrização da curva .
Então vamos descobrir quais são os valores de e , e aplicar o teorema!
Passo 2
(a)
Nosso campo é
Então
E a função é:
Integrando em função de , com e constantes:
A constante de integração, nesse caso, vai depender de .
Passo 3
Pra descobrir quem é esse , vamos começar derivando em função de , considerando e constantes:
Igualando a :
Então é constante em função de :
Passo 4
Agora derivando em função de , com e constantes:
Igualando a :
Ou seja, é uma constante qualquer! Por simplificação, vamos fazer , então:
Passo 5
(b)
Bom, agora que já sabemos quem é , podemos aplicar o teorema:
A parametrização de é
Então os valores de e são:
Passo 6
Aplicando o teorema, temos:
Como , fica:
E achamos o valor da integral: