Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 33
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.
Passo 1
Faaala, galera!
Nessa questão, nós temos um conjunto
E precisamos determinar se ele é aberto, conexo por caminhos e simplesmente conexo.
Pra isso, vamos relembrar essas definições:
- Aberto: para todo ponto do conjunto existe uma bola aberta centrada nesse ponto que esteja inteira no conjunto.
- Conexo por caminhos: quaisquer dois pontos no conjunto podem ser ligados por um caminho inteiro dentro do conjunto.
- Simplesmente conexo: é conexo por caminhos, e qualquer curva fechada contorna só pontos que estejam dentro do conjunto.
Na prática, quer dizer que as curvas que limitam o conjunto não pertencem a ele:
Na prática, o conjunto não é constituído de dois ou mais pedaços separados.
Na prática, além de ser conexo por caminhos, não tem nenhum buraco no conjunto.
Então, a gente vai começar desenhando o nosso conjunto no , pra conseguir comparar com essas definições que acabamos de ver!
Daí vemos uma por uma se nosso conjunto se encaixa ou não nas definições.
Bora lá!
Passo 2
O conjunto é:
Como temos , estamos falando de uma região circular. Nosso conjunto está entre duas circunferências:
Que são circunferências centradas na origem, e da raios e .
Além disso, temos , então estamos acima do eixo . Desenhando isso, fica:
Passo 3
(a)
As curvas que limitem o nosso conjunto são parte das circunferências, além de dois segmentos da reta . Como todas essas curvas fazem parte do conjunto (podemos ver pela definição, já que todos os sinais são “” e “”), então:
Não, o conjunto não é aberto.
Passo 4
(b)
O conjunto é definido por um pedaço só, não é segmentado em pedaços separados, ou seja,
Sim, o conjunto é conexo por caminhos.
Passo 5
(c)
Por fim, vemos que o conjunto não tem nenhum buraco, ou seja, além de ser conexo por caminhos:
Sim, o conjunto é simplesmente conexo.
Resposta
- Não
- Sim
- Sim