Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 15a
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
C é a o segmento de linha de para .
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos nessa!!
Vamos resolver o item (a) nesse exercício.
O item (a) pede para determinarmos uma função de tal forma que o gradiente dessa função é igual a uma função . Essa relação:
Onde é:
E agora? Vamos com calma, pois vai envolver bastante manipulação das equações.
Vamos lembrar que a gente pode reescrever o termo , da seguinte forma:
Isso acontece, porque o operador nabla calcula as derivadas parciais do vetor .
Da igualdade acima, concluímos que:
Agora devemos encontrar uma expressão para . Para isso basta a gente integrar cada lado da igualdade.
Mas lembre-se que é uma integral indefinida, logo deve aparecer uma constante em cada integral.
Vamos fazer um como exemplo, vai ficar mais claro.
Integrar em relação a . Assim, temos
Integrando, isso nos dá:
Repare que apareceu um termo que é a nossa constante. Pois se derivarmos em relação , vamos voltar a nossa situação inicial.
Por fim, para você entender o motivo. Nesse processo vamos integrando e derivando em relação as variáveis , e para encontrar uma expressão de tal forma, que se aplicarmos as derivadas parciais encontramos novamente a relação:
Eu sei que é bastante trabalhoso, por isso faça com muita calma essa parte.
Vamos nessa colocar mão na massa!!!
Passo 2
Já demostramos antes como determinar . Concluímos que é:
A próxima coisa é derivar a função em relação a . Vamos ter que:
Sabemos lá do passo , que .
Assim, vamos igualar com o valor encontrada acima. Temos:
Agora, vamos encontrar o . Se integrarmos em relação a , temos:
Reescrevendo a função , vamos ter:
Eu quero que você pare e reflita um pouco.
Observe que é só manipulação de derivadas e integrais, e é esse o caminho que devemos fazer para os próximos termos.
Passo 3
Agora vamos pegar a função e derivá-la em relação a .
Derivando, vamos ter:
Como temos uma expressão para lá do passo , vamos comparar as duas:
Integrando ambos os lados em relação à , temos:
Repare que aparece uma constante que não depende de , pois quando derivarmos ela tem que ser zero. Isso é um processo que acontece em toda integral indefinida, quando ela não tem limites de integração.
Por fim, reescrevendo a função temos como resposta:
Obs.:
Repare que se aplicarmos a relação:
Fazendo as derivadas parciais de em relação a , e , vamos encontrar exatamente o campo vetorial dado no enunciado.