1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Encontre r'(t) .
  3. Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t .

r(t) = e^(2t) * i^ + e^(t) * j^

Passo 1

Galera, a curva é dada pela seguinte equação:

r t = e 2 t i ^ + e t j ^

Aqui, temos que x = e 2 t = e t 2 e y = e t . Queremos traçar o gráfico dessa curva. O que a gente pode fazer aqui, é nos aproveitar da relação entre x e y e colocarmos essa curva em coordenadas cartesianas.

Para resolver essa atividade, a gente vai relembrar nossos tempos de escola. Vamos colocar alguns valores de x na função y ( x ) , e após isso teremos os pontos ( x , y ) , iremos então plotar esses pontos utilizando o GeoGebra e assim teremos o nosso gráfico.

Passo 2

Se substituirmos y no x , temos:

x = y 2

Essa equação é uma parábola horizontal com o vértice na origem, y = 0 quando x = 0 . Porém, como y = e t não pode ser negativo, nós pegamos apenas a parte de cima.

Talvez não seja necessário desenhar setas, mas é legal para mostrar a direção para onde t cresce.

“Mas como definimos a direção das setas?”

você deve estar se perguntando.

Bom, sabemos que x = e 2 t e y = e t . Conforme t aumenta, ambos x e y aumentam. Então, as setas apontam na direção em que x e y aumentam.

Passo 3

Agora vamos aos pontos:

Para x = 0

y 0 = 0

Para x = 1

y 1 = 1

Para x = 2

y 2 = 2

Para x = 3

y 3 = 3

Para x = 4

y 4 = 2

Então plotando o gráfico com esses e outros pontos, a gente tem o seguinte comportamento:

Resposta

O gráfico é:

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