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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 18

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 + ∞ 1 x 2 + 3 x + 2   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral impropria do tipo 1. Trocando o limite infinito por t , obtemos a integral

∫ 0 t 1 x 2 + 3 x + 2   d x

Devemos calculá-la e depois fazer t → ∞ .

Passo 2

Note que as raízes da equação x 2 + 3 x + 2 = 0 são - 2 e - 1 . Assim,

1 x 2 + 3 x + 2 = 1 ( x + 2 ) ( x + 1 )

Para achar uma primitiva para a função, usaremos frações parciais. Note que

1 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = A x + 2 + B x + 1 = A x + A + B x + 2 B ( x + 2 ) ( x + 1 ) = A + B x + ( A + 2 B ) ( x + 2 ) ( x + 1 )

Assim, temos que

A + B = 0 A + 2 B = 1

Da primeira equação tiramos A = - B e substituindo na segunda: - B + 2 B = 1 , logo B = 1 e A = - 1 . Assim,

∫ 0 t 1 x 2 + 3 x + 2   d x = ∫ 0 t 1 x + 1 - 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 1 x + 2 0 t = ln ⁡ t + 1 t + 2 - ln ⁡ 1 2

Passo 3

Fazendo t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 1 x 2 + 3 x + 2   d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t + 1 t + 2 - ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2

Desta forma, vemos que a integral é convergente.

Resposta

ln ⁡ 2

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