Calcule a integral.

∫ t g 3 x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Vamos lembrar que t g   x = s e n   x / cos ⁡ x , assim

∫ t g 3 x   d x = ∫ s e n 3 x cos 3 ⁡ x d x = ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) cos 3 ⁡ x   s e n   x   d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer u = cos ⁡ x , assim d u = - s e n   x   d x . Portanto,

∫ t g 3 x   d x = - ∫ 1 - u 2 u 3 d u = ∫ 1 u - 1 u 3 d u

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

∫ 1 u - 1 u 3 d u = ln ⁡ | u | + 1 2 u 2 + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

∫ t g 3 x   d x = ln ⁡ | cos ⁡ x | + 1 2 cos 2 ⁡ x + C

Resposta

ln ⁡ | cos ⁡ x | + 1 2 cos 2 ⁡ x + C

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