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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 4

Calcule a integral.

int t g^3 x d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Vamos lembrar que t g x = s e n x // cos x , assim

int t g^3 x d x = int (s e n^3 x)/(cos^3 x) d x = int (( 1 - cos^2 x ))/(cos^3 x) s e n x d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer u = cos x , assim d u = - s e n x d x . Portanto,

int t g^3 x d x = - int (1 - u^2)/(u^3) d u = int ((1)/(u) - (1)/(u^3)) d u

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

int ((1)/(u) - (1)/(u^3)) d u = ln | u | + (1)/(2 u^2) + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

int t g^3 x d x = ln | cos x | + (1)/(2 cos^2 x) + C

Resposta

ln | cos x | + (1)/(2 cos^2 x) + C

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