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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 78b

Mostre que se f ( x ) é integrável em qualquer intervalo de números reais e a e b sã0 números reais com a < b , então

  1. ∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a ∞   f x d x = ∫ - ∞ b   f x d x +     ∫ b ∞ f x d x .

Passo 1

Vamos tentar reescrever as integrais que nos foi dadas, ok?

∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a ∞   f x d x =   ∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a b   f x d x +   ∫ b a   f x d x + ∫ a ∞ f x d x

Mas, mano , se ligue que

∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a b   f x d x +   ∫ b a   f x d x + ∫ a ∞ f x d x =   ∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a b   f x d x -   ∫ a b   f x d x + ∫ a ∞ f x d x

Além disso,

∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a b   f x d x -   ∫ a b   f x d x + ∫ a ∞ f x d x =   ∫ - ∞ b   f x d x - ∫ a b   f x d x - ∫ ∞ a f x d x

E só mudando mais uma coisinha

∫ - ∞ b   f x d x - ∫ a b   f x d x - ∫ ∞ a f x d x   =   ∫ - ∞ b   f x d x -   ∫ ∞ b f x d x  

E ai, finalmente,

∫ - ∞ b   f x d x -   ∫ ∞ b f x d x =     ∫ - ∞ b   f x d x +     ∫ b ∞ f x d x

Acabamos! Fechou!

∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a ∞   f x d x =   ∫ - ∞ b   f x d x +     ∫ b ∞ f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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