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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 14

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ ∞ x   e - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, o limite é infinito nos dois extremos, assim, temos que

∫ - ∞ ∞ x   e - x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x   e - x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b x   e - x 2   d x

Para que a integral seja convergente, os dois limites devem existir!

Precisamos calcular então a primitiva:

I = ∫ x   e - x 2   d x

Passo 2

Para achar a primitiva, vamos fazer t = - x 2 , assim d t = - 2 x   d x :

I = - 1 2 ∫ e t   d t = - 1 2 e t = - 1 2 e - x 2

Assim,

∫ a 0 x   e - x 2   d x = - 1 2 e - x 2 a 0 = - 1 2 1 - e - a 2 = 1 2 e - a 2 - 1

∫ 0 b x   e - x 2   d x = - 1 2 e - x 2 0 b = - 1 2 e - b 2 - 1 = 1 2 1 - e - b 2

Passo 3

Agora vamos tomar os limites. Primeiro com a → - ∞ :

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x   e - x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ 1 2 e - a 2 - 1 = 1 2 0 - 1 = - 1 2

Para b → ∞ :

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b x   e - x 2   d x = lim b → ∞ ⁡ 1 2 1 - e - b 2 = 1 2 ( 1 - 0 ) = 1 2

Portanto, os dois limites existem e são finitos, de modo que a integral converge:

∫ - ∞ ∞ x   e - x 2   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x   e - x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b x   e - x 2   d x = - 1 2 + 1 2 = 0

Resposta

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