Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 10
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Passo 1
A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, o limite é infinito nos dois extremos, assim, temos que
Para que a integral seja convergente, os dois limites devem existir! Os dois hein, não apenas um!
Já que vamos precisar da primitiva para os dois limites, vamos calcular
Passo 2
Para achar , vamos fazer a substituição . Assim, :
Portanto,
Assim,
E
Passo 3
Agora temos que fazer e . Note que podemos fazer o seguinte:
Assim,
Eu sei que antes de calcular os limites você é tentado a dizer que eles são iguais e cortar os dois dizendo que a integral converge: cuidado, não é assim que as coisas funcionam! E se os limites não existissem? Você teria cortado os dois e diria que a integral seria convergente, mas ela não seria pois os limites não existiriam! Lembre-se sempre, em casos assim, os dois limites devem existir para a integral ser considerada convergente!
Note que nos dois casos o limite tende a , de modo que sim, a integral será convergente: