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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 12

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 2 1 x - 1 2 / 3   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso o problema acontece em x = 1 onde o denominador se anula. Assim,

∫ 0 2 1 x - 1 2 / 3   d x = lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a 1 x - 1 2 / 3   d x + lim b → 1 + ⁡ ∫ b 2 1 x - 1 2 / 3   d x

Se os dois limites existirem a integral será convergente.

Passo 2

Calculando a primitiva:

∫ 1 x - 1 2 / 3   d x = ∫ x - 1 - 2 / 3   d x = 3 x - 1 1 / 3

Assim,

∫ 0 a 1 x - 1 2 / 3   d x = 3 x - 1 1 3 0 a = 3 a - 1 3 - - 3 = 3 + 3 a - 1 3

∫ b 2 1 x - 1 2 / 3   d x = 3 x - 1 1 3 b 2 = 3 - 3 b - 1 3

Passo 3

Tomando o limite com a → 1 e b → 1 , temos que 3 a - 1 3 → 0 e 3 b - 1 3 → 0 . Assim, ambos os limites existem:

∫ 0 2 1 x - 1 2 / 3   d x = lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a 1 x - 1 2 / 3   d x + lim b → 1 + ⁡ ∫ b 2 1 x - 1 2 / 3   d x = 3 + 3 = 6

Como ambos os limites existem a integral converge!

Resposta

6

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