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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 14

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso a integral tem problemas em x = 2 pois anula o denominador e tem um limite de integração infinito. Assim, devemos fazer

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4   d x = lim a → 2 + ⁡ ∫ a 3 1 x x 2 - 4   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 3 b 1 x x 2 - 4   d x

Para que a integral seja convergente, ambos os limites devem existir! Se um deles não existir (ou os dois), ela será divergente!

Passo 2

Olhando a fórmula 35 do apêndice F3 (tabela de integrais) do livro, vemos que

∫ 1 x   x 2 - a 2 d x = 1 a arcsec ⁡ x a

Assim, temos que

∫ 1 x x 2 - 4   d x = 1 2 arcsec ⁡ x 2

Portanto,

∫ a 3 1 x x 2 - 4   d x = 1 2 arcsec ⁡ x 2 a 3 = 1 2 arcsec ⁡ 3 2 - 1 2 arcsec ⁡ a 2

∫ 3 b 1 x x 2 - 4   d x = 1 2 arcsec ⁡ x 2 3 b = 1 2 arcsec ⁡ b 2 - 1 2 arcsec ⁡ 3 2

Passo 3

Tomando o limite com a → 2 + , temos que

arcsec ⁡ a 2 → arcsec ⁡ 1 + = 0

Já para b → ∞ :

arcsec ⁡ b 2 → π 2

Assim, temos que

lim a → 2 + ⁡ ∫ a 3 1 x x 2 - 4   d x = 1 2 arcsec ⁡ 3 2 - 0 = 1 2 arcsec ⁡ 3 2

lim b → ∞ ⁡ ∫ 3 b 1 x x 2 - 4   d x = 1 2 ⋅ π 2 - 1 2 arcsec ⁡ 3 2 = π 4 - 1 2 arcsec ⁡ 3 2

Portanto,

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4   d x = lim a → 2 + ⁡ ∫ a 3 1 x x 2 - 4   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 3 b 1 x x 2 - 4   d x = π 4

A integral converge!

Resposta

π 4

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫